Магнитного поля

И Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции для

Магнитное поле и его характеристики. Законы Ампера

Все мы слышали слова “магнитное поле”, знаем, что постоянные магниты притягивают металлы, знаем, что стрелка компаса ориентируется вдоль магнитного поля Земли. Сейчас мы более детально познакомимся с тем, что мы называем “магнитное поле”. Итак, учение о магнетизме ведёт своё начало с опытов датского физика Х. Эрстеда, который в 1820 г. обнаружил, что проводник с током оказывает ориентирующее воздействие на магнитную стрелку. Схема опыта Эрстеда показана на рис. 3.1. При включении тока через прямолинейный проводник магнитная стрелка устанавливалась перпендикулярно току. При смене направления тока в проводнике изменялось и направление магнитной стрелки. В том же 1820 г. французский физик Ампер установил, что два параллельных прямых проводника с током, размещённых на некотором расстоянии R друг от друга, притягиваются, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкиваются, если токи в этих проводниках противоположно направлены. Он же установил и формулу силы, приходящейся на единицу длины каждого проводника. Сейчас выражение для этой силы записывается в виде

. (3.1)

Здесь I₁ и I₂ – токи в проводниках, m₀ = 4p·10^-7 Г/м – так называемая магнитная постоянная. Так было показано, что электрические токи могут создавать магнитное поле, посредством которого осуществляется взаимодействие между током и постоянным магнитом – как в опыте Х.Эрстеда и между токами – как в опыте Ампера. Из опытов Эрстеда и Ампера следовало, что магнитное поле должно иметь направление и, следовательно, величина, характеризующая это поле, должна быть векторной. По историческим причинам, основной силовой характеристикой магнитного поля была названа величина, которая называется «магнитная индукция» и обозначается В. Магнитная индукция измеряется в теслах (Тл). Эта величина названа в честь сербского физика Н. Тесла.Ампер же установил и закон, который определяет силу, действующую на элемент тока Id l в магнитном поле

d F = I [ d l, B ]. (3.2)

Квадратные скобки в формуле (3.2) обозначают векторное произведение. Модуль векторного произведения (3.2) определяется как

dF = IdlBsina, (3.3)

где a – угол между векторами d l и B. Здесь же отметим, что направление силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы и определяется правилом правого винта для определения направления векторного произведения.

Из выражения (3.3) следует и определение величины Тесла. А именно, если положить a = 90⁰, то sina = 1, и тогда из формулы (3.3) следует, что , или , или магнитному полю с индукцией в 1 Тл соответствует сила в 1 Н, действующая на кусок прямолинейного проводника в 1 м, по которому течёт ток силой в 1 А при взаимно перпендикулярном расположении проводника и магнитного поля.

Так как магнитное поле является силовым, то его можно графически изобразить при помощи линий магнитной индукции, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением индукции магнитного поля в этой же точке. Подчеркнём, что основная силовая характеристика магнитного поля – это индукция. В этом смысле индукция магнитного поля аналогична напряжённости электрического поля. Кроме того, имеется и вспомогательная характеристика магнитного поля, которая называется напряжённостью магнитного поля, и эта величина аналогична электрическому смещению для электрического поля. Для однородной изотропной среды связь между напряжённостью и индукцией магнитного поля имеет следующий вид:

. (3.4)

Здесь m – так называемая магнитная проницаемость среды, о которой мы будем говорить позднее.

Из опытов Эрстеда и Ампера следовало, что магнитное поле создаётся электрическими токами. Французские физики Био и Савар попытались установить закон, определяющий связь между током и создаваемым этим током магнитным полем. Они проделали много опытов, собрали большой фактический материал, но не смогли установить искомую зависимость из своих результатов. Тогда они обратились за помощью к тогда уже известному другому французскому учёному Лапласу. Лаплас проанализировал результаты опытов Био и Савара и предложил формулу, которая сейчас называется законом Био-Савара-Лапласа, и которая вместе с принципом суперпозиции для магнитного поля позволяет определить магнитное поле, создаваемое любым проводником в произвольной точке:

. (3.5)

Здесь I dl – произведение силы тока на элементарный вектор d l, совпадающий по направлению с током на данном участке проводника, называется элементом тока, r – вектор, проведенный от элемента тока I dl в точку, где вычисляется магнитная индукция. Рис.3.2 поясняет формулу Био-Савара-Лапласа. Из формулы (3.4) и рис.3.2 видно, что направление магнитного поля связано с направлением тока в проводнике правилом правого винта. Таким образом, вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости, проходящей через вектор d l и точку, в которой вычисляется магнитная индукция. Чтобы получить индукцию, созданную всем проводником, нужно просуммировать в данной точке магнитные поля, создаваемые каждым элементом тока этого проводника. Если имеется несколько проводников, то необходимо векторно сложить в данной точке магнитные поля, создаваемые каждым проводником в отдельности. Модуль выражения (3.4) определяется как

, (3.6)

где a – угол между векторами d l и r.

Как уже отмечалось, для магнитного поля, так же как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции, который утверждает, что магнитное поле, созданное в некоторой точке несколькими токами, равно векторной сумме полей, создаваемых в этой точке каждым из токов в отдельности:

. (3.7)

Формулу (3.7) можно преобразовать следующим образом

. (3.8)

Здесь q – заряд электрона, n – концентрация, – скорость направленного движения электронов в проводнике. Она совпадает по направлению с вектором d l, поэтому мы имеем право в векторном произведении перенести значок вектора с вектора d l на вектор скорости. Мы также воспользовались тем, что сила тока может быть записана как плотность тока, умноженная на площадь поперечного сечения проводника , а также тем, что произведение поперечного сечения проводника на его бесконечно малую длину dl равно элементу объёма dV, а произведение концентрации зарядов на объём равно количеству зарядов в этом объёме N:

. (3.9)

С учётом сделанных замечаний получим индукцию магнитного поля, создаваемого движущимся со скоростью зарядом:

. (3.10)

Необходимо отметить, что формула (3.10) справедлива при условии , где с – скорость распространения света в вакууме.

Из выражения (3.5) видно, что величина магнитного поля обратно пропорциональна квадрату расстояния до элемента тока, создающего это поле. Вспомним, что и основная силовая характеристика электрического поля – напряжённость электрического поля – также обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника этого поля – электрического заряда:

. (3.11)

Такая зависимость не является случайной, а отражает глубокую связь между электрическими и магнитными явлениями. В частности, в курсе теоретической физики доказывается, что магнитное взаимодействие токов является следствием закона Кулона и инвариантности заряда. Инвариантность заряда означает, что его величина не зависит от скорости движения заряда. Также доказывается, что электрическое и магнитное поля неразрывно связаны и образуют единое электромагнитное поле. Можно так выбрать систему отсчёта, что магнитное поле будет равно нулю. Этот вывод также следует и из формулы (3.9). Соответственно, также можно выбрать такую систему отсчёта, в которой электрическое поле будет равно нулю. Во всех остальных системах отсчёта будет наблюдаться единое электромагнитное поле, как совокупность электрического и магнитного полей.

Теперь воспользуемся законом Ампера для расчёта силы взаимодействия, приходящейся на единицу длины двух параллельных токов. В самом деле, пусть у нас есть два параллельных проводника, с расстоянием между ними R, по которым в одном и том же направлении текут токи I₁ и I₂ (рис.3.3). Ток I₁ создаёт в месте нахождения второго проводника магнитное поле B₁, и ток I₂ создаёт в месте нахождения первого проводника магнитное поле B₂. По закону Ампера, на элемент тока I₂dl действует сила dF₁=I₂B₁dl. Здесь учтено, что sina=1. На основании формулы (3.14)

.

Окончательно, таким образом, получаем, что

. (3.12)

Аналогичным образом можно показать, что

. (3.13)

Направления сил указаны на рис. 3.1/3. Таким образом, получили, что два параллельных проводника, по которым текут токи в одном и том же направлении, притягиваются друг к другу с одинаковыми силами, приходящимися на единицу длины этих проводников и задаваемыми формулой (3.1). Если токи направлены в разные стороны, то, рассуждая аналогичным образом, можно показать, что проводники будут отталкиваться с силой, также определяемой формулой (3.1).