Решение задачи линейного программирования геометрическим методом

Задача использования сырья

Для производства двух видов изделий и используются три вида сырья: Запасы сырья ограничены. Предприятие обеспечены сырьем первого вида в количестве кг., сырьем второго вида в количестве кг., сырьем третьего вида в количестве кг.

На производство одного изделия необходимо затратить сырья первого вида - кг., сырья второго вида - кг., сырья третьего вида - кг. На производство одного изделия необходимо затратить сырья первого вида - кг., сырья второго вида - кг., сырья третьего вида - кг.

Прибыль от реализации одного изделия составляет тыс. руб., а изделия - тыс. руб.

Составить план производства изделий и так, чтобы предприятие получило наибольшую прибыль от реализации.

Решение:

Обозначим через количество изделий , через - количество изделий . Тогда на все изделия понадобиться кг. сырья первого вида. Всего кг. По условию сырья первого вида 3000 кг. Значит, мы получаем первое неравенство

.

Знак неравенства поставлен ввиду того, что сырье может использоваться не полностью.

Аналогично, по сырью второго вида получаем неравенство ,

а по сырью третьего вида

.

Прибыль от реализации изделий и изделий равна

.

Мы получаем математическую модель задачи:

Найти:

При условиях:

Алгоритм;

1. Строим прямые, которые получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки равенств.

2. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

3. Находят многоугольник решений 9это множество точек пересечения полуплоскостей полученных в пункте 2).

4. Строят вектор .

5. Строим прямую , проходящую через многоугольник решений.

6. Передвигаем прямую в направлении вектора , в результате чего находят точку (точки), в которых целевая функция принимает максимальное значение (это последняя точка общая с многоугольником решений).

Если прямую передвигаем в направлении противоположном , то находим точку (точки) в которых целевая функция принимает минимальное значение (это последняя точка общая с многоугольником решений).

Либо устанавливаем неограниченность функции.

7. Определяем координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляем значение целевой функции в этой точке.