Необходимое условие устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a_opⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 +... + a_n = a_o(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0,

где p₁, p₂,..., p_n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a_i = -|a_i| < 0. Подставим их в уравнение:

a₀(p + |a₁|)(p + |a₂| - j2)(p + |a₂| + j2)... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a₀(p + |a₁|)((p + |a₂|)2 + (2)2)... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 +... + a_n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a₀,a₁,...,a_n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a₀ > 0, a₁ > 0,..., a_n > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a₀ > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.