double arrow

Необходимое условие устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0,

где p1, p2, ..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать какai = -|ai| < 0. Подставим их в уравнение:

a0(p + |a1|)(p + |a2| - j2)(p + |a2| + j2)... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a0(p + |a1|)((p + |a2|)2 + (2)2)... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a0,a1,...,an не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0, ... , an > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0 > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.


Сейчас читают про: