Основные правила дифференцирования

Основные правила дифференцирования

I. Производная суммы (разности):

 

(u+v)' =u' + v',

Пример1. Найти производную функции y = sin(x) + x³
Р е ш е н и е:

Имеем y^' = (sin(x) + x³)^' = cos(x) + 3x²

Постоянный множитель выносится за знак производной

 

(Cu)' =C u',

II. Производная произведения

 

Пусть функция представляет собой произведения двух функций u и υ.

(читается: u - y υ-вэ).

 

(u·υ)' = u'·υ+u·υ'

 

Пример 1

 

Пример 2.

III. Производная дроби

Пример:

Производная сложной функции

Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x₀, причем:

 

Найдем производную следующих функций:

1)

2)

 

А теперь найдем производную сложной функции:

3) ((5х-3)⁷)’=7(5х-3)⁶ · (5х-3)¹=7·5(5х-3)⁶= 35·(5х-3)⁶;

 

4) ((8+7х)^-3)’= -3·(8+7х)^-4 ·(8+7х)¹= - 3·7(8+7х)^-4 =

= - 21 ·(8+7х)^-4

5)  

 

6)

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определения приращения аргумента и приращения функции, запишите соответствующие равенства и изобразите их на примере произвольной кривой линии.

2. Найдите приращение функции f в точке х₀, если f(х) = 2х³ – 3, х₀ = 3, Δх = - 0,2.

3. Дайте определение производной функции f в точке х₀.

4. Найдите производную функции f(х) = кх + b (к и b – постоянные, т. е. числа) в точке х₀.

5. Чему равна производная постоянной величины (константы)?

6. Каковы основные формулы дифференцирования (нахождения производных функций)?

7. Перечислите правила нахождения производных функций.

8. Найти производную функции:

а)

б) 4х·(3х+5)

в)

9. Запишите правило нахождения производной сложной функции.

10. Найдите производную функции: 

1) (12х-7)¹⁰    2)