Определение степени с действительным показателем

1.;

2.;

3.

4.

5.

 

Разберем несколько примеров, воспользовавшись данными свойствами:

1. Вычислим:

2. Упростить выражение:

В числителе вынесем общий множитель ab за скобки, в знаменателе представим корни в виде дробных показателей степени:

А теперь дадим определение степени с действительным показателем, на примере .

Пусть последовательность десятичных приближений с недостатком :

Эта последовательность стремится к числу , т.е.

Числа являются рациональными, и для них определены степени т.е. определена последовательность

Можно сделать вывод, что данная последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают , т.е. .

Определение степени с действительным показателем.

При любом действительном х  и любом положительном а ) степень  является положительным числом:

Но если основание степени а=0, то степень определяют только при и считают, что

При  выражение  не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем, из которых следует теорема.

Теорема. Пусть  и. Тогда.

Из данной теоремы вытекают три следствия:

1. Пусть  Тогда

2. Пусть  и