Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5

Примеры.

1) Построить график функции y=2^x. Найдем значения функции при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;              Точка А. x=1, y=21=2;              Точка В. x=2, y=22=4;              Точка С. x=3,y=23=8;              Точка D. x=-1,y=2-1=1/2=0,5;  Точка K. x=-2,y=2-2=1/4=0,25; Точка M. x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2^x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(¹/₂)^x. Найдем значения функции при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0,y=(½)0=1;             Точка A. x=1, y=(½)1=½=0,5;     Точка B. x=2, y=(½)2=¼=0,25;   Точка C. x=3, y=(½)3=1/8=0,125; Точка D. x=-1, y=(½)-1=21=2;     Точка K. x=-2, y=(½)-2=22=4;     Точка M. x=-3, y=(½)-3=23=8;     Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(¹/₂)^x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции   0<(¹/₂)<1.

3) В одной координатной плоскости построить графики функций:  

y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=10^x. Сделать выводы.

График функции у=2^х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+). Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу. Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

 

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(¹/₂)^x, y=(¹/₃)^x, y=(¹/₅)^x, y=(¹/₁₀)^x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(¹/₂)^x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+. Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу. Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

Решение: В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.   Графики пересеклись в точке А(1; 3).   Ответ: 1.

2) 0,5х=х+3.

Решение: В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х (y=(1/2)x)  и у=х+3. Графики пересеклись в точке В(-1; 2). Ответ: -1.

Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=- 2^x

Область значений показательной функции y=2^x – все положительные числа, т.е. 0<2^x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2^x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).