Лекция 8. Плоскость и прямая в пространстве

2. Векторная алгебра и анализ

2.2. Векторная алгебра, аналитическая геометрия

Автор Л.Ю. Трояновская.

Содержание:

Поверхность в пространстве. ♦
Уравнение плоскости в пространстве. ♦
Уравнение линии в пространстве. ♦
Уравнение прямой линии в пространстве. ♦
Плоскость и прямая в пространстве. ♦

Поверхность в пространстве.

Определение 1.Уравнением данной поверхности в декартовой системе координат называется такое уравнение , что ему удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на этой поверхности.

С помощью уравнения поверхности можно исследовать ее форму и ориентацию в пространстве не геометрически, а аналитически. Уравнение поверхности отражает некоторое, общее для всех точек данной поверхности, свойство.

Самая простая поверхность – это плоскость.

Уравнение плоскости в пространстве.

Чтобы составить уравнение плоскости, отражающее некоторое общее свойство точек данной плоскости, нужно это свойство сформулировать.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Задача 1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение.

Возьмем произвольную точку и потребуем, чтобы она тоже лежала на данной плоскости. Для этого построим три вектора, исходящие из одной точки:

Тогда, чтобы все три вектора (а, значит, и все четыре точки) лежали в одной плоскости, должно выполняться условие компланарности трех векторов:

Т.о., все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, лежат на той же плоскости, что и точки . Следовательно,

− уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример.

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точки .

Решение.

Уравнение запишется так:

− разложим определитель по первой строке:

− умножим обе части уравнения на (-1), получим

Ответ: Р: .

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Задача 2.Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение.

Возьмем точку М с произвольными координатами (х, у, z) и потребуем, чтобы эта точка лежала на той же плоскости, что и точка . Для этого построим вектор. Т.к. вектор перпендикулярен плоскости, то он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости.

Запишем условие ортогональности двух векторов:

− это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Раскроем скобки и приведем подобные:

− общее уравнение плоскости.

Здесь А, В, С – координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Определение 2.Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором (или ее вектором нормали). Обозначение: .

Все векторы нормали к одной плоскости коллинеарны.

Пример.

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если К( 0, 2, 1), Н( 2, 3, 7).

Решение.

Воспользуемся уравнением . Здесь А, В, С – координаты вектора , а − координаты точки М. Получим

. Приводя подобные, получим

Ответ: .

Нормальное уравнение плоскости.

Задача 3.Составить уравнение плоскости Р, проходящей на расстоянии ρ от начала координат в направлении перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость и имеющего с координатными осями углы α, β, γ соответственно.

Решение.

Единичный вектор перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость Р − это вектор . Его координаты – направляющие косинусы этого перпендикуляра, т.е., . Выберем на плоскости произвольную точку . Вектор, соединяющий начало координат с этой точкой называется ее радиус-вектором и имеет те же координаты . Не зависимо от положения точки М на плоскости, проекция ее радиус-вектора на вектор всегда равна ρ. Имеем: , но , следовательно, . Окончательно:

− нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду, умножив обе части равенства на нормирующий множитель . Здесь − это функция, значение которой равно -1, если D ‹ 0, и равно 1, если D › 0. Другими словами, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена общего уравнения.

Пример.

Записать уравнение плоскости 2x + y −z+5=0 в нормальном виде.

Решение.

Нормирующий множитель равен

− это ответ.

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на координатных осях.

Задача 4. Изобразить на чертеже плоскость, отсекающую на осях координат отрезки а, b и с соответственно.

Решение.

Плоскость − объект бесконечный и изобразить ее всю невозможно, но можно построить линии пересечения с координатными плоскостями, т.к. известны точки пересечении данной плоскости с координатными осями − это и . Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Получим

Вычислив определитель, получим . Перенесем в правую часть и разделим на обе части равенства, получим − уравнение плоскости в отрезках.

Пример.

Изобразить на чертеже плоскость .

Решение.

Перейдем к уравнению в отрезках:

разделим обе части на 6

, следовательно, плоскость пересекает координатные оси в точках .

Ответ:

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве характеризуется взаимным расположением их нормальных векторов. Пусть заданы две плоскости и . Их векторы нормали, соответственно, и .