2. Векторная алгебра и анализ
2.2. Векторная алгебра, аналитическая геометрия
Автор Л.Ю. Трояновская.
Содержание:
- Поверхность в пространстве. ♦
- Уравнение плоскости в пространстве. ♦
- Уравнение линии в пространстве. ♦
- Уравнение прямой линии в пространстве. ♦
- Плоскость и прямая в пространстве. ♦
Поверхность в пространстве.
Определение 1.Уравнением данной поверхности в декартовой системе координат называется такое уравнение , что ему удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой поверхности и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на этой поверхности.
С помощью уравнения поверхности можно исследовать ее форму и ориентацию в пространстве не геометрически, а аналитически. Уравнение поверхности отражает некоторое, общее для всех точек данной поверхности, свойство.
Самая простая поверхность – это плоскость.
Уравнение плоскости в пространстве.
Чтобы составить уравнение плоскости, отражающее некоторое общее свойство точек данной плоскости, нужно это свойство сформулировать.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Задача 1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .
Решение.
Возьмем произвольную точку и потребуем, чтобы она тоже лежала на данной плоскости. Для этого построим три вектора, исходящие из одной точки:
,
.
Тогда, чтобы все три вектора (а, значит, и все четыре точки) лежали в одной плоскости, должно выполняться условие компланарности трех векторов:
.
Т.о., все точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, лежат на той же плоскости, что и точки . Следовательно,
− уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Пример.
Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точки .
Решение.
,
.
Уравнение запишется так:
− разложим определитель по первой строке:
− умножим обе части уравнения на (-1), получим
Ответ: Р: .
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Задача 2.Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение.
Возьмем точку М с произвольными координатами (х, у, z) и потребуем, чтобы эта точка лежала на той же плоскости, что и точка . Для этого построим вектор. Т.к. вектор перпендикулярен плоскости, то он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости.
Запишем условие ортогональности двух векторов:
− это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Раскроем скобки и приведем подобные:
− общее уравнение плоскости.
Здесь А, В, С – координаты вектора, перпендикулярного плоскости.
Определение 2.Любой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором (или ее вектором нормали). Обозначение: .
Все векторы нормали к одной плоскости коллинеарны.
Пример.
Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если К( 0, 2, 1), Н( 2, 3, 7).
Решение.
Воспользуемся уравнением . Здесь А, В, С – координаты вектора , а − координаты точки М. Получим
. Приводя подобные, получим
.
Ответ: .
Нормальное уравнение плоскости.
Задача 3.Составить уравнение плоскости Р, проходящей на расстоянии ρ от начала координат в направлении перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость и имеющего с координатными осями углы α, β, γ соответственно.
Решение.
Единичный вектор перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость Р − это вектор . Его координаты – направляющие косинусы этого перпендикуляра, т.е., . Выберем на плоскости произвольную точку . Вектор, соединяющий начало координат с этой точкой называется ее радиус-вектором и имеет те же координаты . Не зависимо от положения точки М на плоскости, проекция ее радиус-вектора на вектор всегда равна ρ. Имеем: , но , следовательно, . Окончательно:
− нормальное уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду, умножив обе части равенства на нормирующий множитель . Здесь − это функция, значение которой равно -1, если D ‹ 0, и равно 1, если D › 0. Другими словами, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена общего уравнения.
Пример.
Записать уравнение плоскости 2x + y −z+5=0 в нормальном виде.
Решение.
Нормирующий множитель равен
− это ответ.
Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на координатных осях.
Задача 4. Изобразить на чертеже плоскость, отсекающую на осях координат отрезки а, b и с соответственно.
Решение.
Плоскость − объект бесконечный и изобразить ее всю невозможно, но можно построить линии пересечения с координатными плоскостями, т.к. известны точки пересечении данной плоскости с координатными осями − это и . Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Получим
.
Вычислив определитель, получим . Перенесем в правую часть и разделим на обе части равенства, получим − уравнение плоскости в отрезках.
Пример.
Изобразить на чертеже плоскость .
Решение.
Перейдем к уравнению в отрезках:
разделим обе части на 6
, следовательно, плоскость пересекает координатные оси в точках .
Ответ:
Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей в пространстве характеризуется взаимным расположением их нормальных векторов. Пусть заданы две плоскости и . Их векторы нормали, соответственно, и .
Тогда:
1. Углом между плоскостями считается меньший из двугранных углов, косинус которого равен: .
2. Условие параллельности двух плоскостей: .
3. Условие перпендикулярности двух плоскостей: .
Пример.
Найти угол между плоскостями и .
Решение.
, следовательно,
.
.
Ответ: .