Уравнение линии в пространстве

Уравнение линии в пространстве.

Определение 3. Линией в пространстве называется линия пересечения двух поверхностей, а уравнением линии называется такая система уравнений
,
что ей удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии и не удовлетворяют координаты точек не лежащих на этой линии (т.е., координаты точек, одновременно принадлежащих обеим поверхностям).

При пересечении двух плоскостей в пространстве получается прямая линия.

Уравнение прямой линии в пространстве.

Пря мая линия бесконечна, поэтому для анализа ее положения в пространстве вводится понятие направляющего вектора.

Определение 4. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой или параллельный ей. Обозначение: .

Общие уравнения прямой.

Задача 1. Найти линию пересечения двух плоскостей.

Решение.

Если линия образована пересечением двух плоскостей  и , то система  − это общие уравнения прямой.

За направляющий вектор этой прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей .

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей данной прямой, одну из координат задаем произвольно, например, z=0, а остальные находим из общих уравнений.

Пример.

Найти направляющий вектор и произвольную точку прямой .

Решение.

Пусть z =0. Потребуем, чтобы точка . Подставим координаты точки в общие уравнения. Получим

Ответ: .

Канонические уравнения прямой.

Задача 2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку   параллельно вектору .

Решение.

На прямой выберем произвольную точку  и построим вектор . Запишем условие коллинеарности векторов  − это канонические уравнения прямой.

Пример.

Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно вектору .

Решение.

.

Параметрические уравнения прямой.

Задача 3. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку   параллельно вектору .

Решение.

Запишем канонические уравнения этой прямой:

 т.к. все дроби равны, их можно обозначить одной буквой: . Тогда получим:

 − параметрические уравнения прямой.

Уравнение линии, проходящей через две заданные точки.

Задача 4. Найти прямую, проходящую через две заданные точки   и .

Решение.

Воспользуемся каноническими уравнениями. За направляющий вектор можно принять вектор, лежащий на прямой – вектор , аза точку  принять, например, точку . Получим:

 − уравнение линии, проходящей через две заданные точки.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямых в пространстве характеризуется взаимным расположением их направляющих векторов. Пусть заданы две линии:  и . Тогда:

1. Угол между линиями – это меньший из вертикальных углов, поэтому .

2. Условие параллельности двух прямых
.

3. Условие перпендикулярности двух прямых .

Плоскость и прямая в пространстве.

Взаимное расположение прямой линии и плоскости в пространстве определяется взаимным расположением их направляющего и нормального векторов.