Плоскости в евклидовом пространстве

Определение r-мерной плоскости и её аффинные свойства, рассмотренные ранее, сохраняются и в пространстве Е. (однако, в Eимеются ряд задач специфического, метрического содержания. Обобщим некоторые метрические понятия трехмерного пространства на евклидово пространство измерений.

Определение 1: пусть V - векторное евклидово пространство, связанное с пространством E и W - его подпространство. Множество W всех векторов из V, ортогональных любому вектору W, называется ортогональным дополнением пространства W.

Пример: если V= {},то {}= V.

Определение 2: пусть Vи V- подпространства векторного пространства V, где 0 r n и 0 s n. Их объединение V, состоящее из векторов вида +, где V, а V, является векторным пространством и называется алгебраической суммой пространств Vи Vи обозначается V= V+ V.

Определение 3: если VV={},то алгебраическая сумма называется прямой суммой и обозначается VV.

В курсе линейной алгебры доказано следующее:

Теорема 1: для любого подпространства VVего ортогональное дополнение также является подпространством пространства V, причем, если VVи V{}, то V= Vи .

Определение 4: пусть P- многомерная плоскость пространства E, натянутая на точку М и векторное евклидово подпространство V. Плоскость, направляющим подпространством которой служит V, называется ортогональным дополнением к плоскости Pи обозначается P.

Теорема 2: плоскости Pи Pпространства E пересекаются в единственной точке.

□ Пусть Pнатянута на точку М и векторное евклидово подпространство V, а плоскость P- на точку N и V. Тогда VV= V.Значит, выполнено необходимое и достаточное условие пересечения плоскостей: для объединенной системы линейных уравнений, задающих эти плоскости, равны ранги основной и расширенной матрицы. Так как размерность их пересечения t = m + (n – m) =n, то VV= {}, значит, Pи Pпересекаются, причем в единственной точке. ■

Теорема 3: через любую точку N пространства Eпроходит единственное ортогональное дополнение Pк плоскости P, натянутой на точку M и подпространство V.

□ По условию плоскость Pнатянута на точку N и подпространство V, а так как многомерная плоскость вполне задается своей любой точкой и направляющим подпространством, то P- единственна. ■

Теоремы 1-3 позволяют ввести понятие расстояния от точки до плоскости P

1 m n-1.

Пусть плоскость Pнатянута в пространстве Eна точку М и подпространство Vплоскость Pпроходит через некоторую точку N, точка K = PP, точка B – произвольная точка плоскости P.

По аксиоме треугольника имеем: += (1)

Так как по условию K, B P, то V; K, N P, то V, значит и =0.

Из равенства (1) по теореме Пифагора получаем:

(2)

если BK, то и из (2) , то есть - длина перпендикуляра к плоскости Pменьше длины любой наклонной . Поэтому расстоянием от точки N до плоскости Pбудем считать длину вектора . Если же N P, то считаем . (3)

Задача: вычислить расстояние от точки N(x, x,…,x) до гиперплоскости Pc уравнением a(решить на практическом занятии).

Решение: обозначим через ортогональную проекцию точки Nна гиперплоскость Pи выберем на ней две произвольные точки и . Тогда имеем и

, то есть . Значит, вектор ортогонален любому вектору , то есть и . Вычислим двумя способами произведение .

1) = , так как, или и .

2) = .

Окончательно имеем: (4)