Параметрические уравнения эллипса

Пусть в прямоугольной системе координат дан эллипс.

(a > b). (2)

Можно получить уравнение эллипса в другой форме, когда переменные х и у будут зависеть от новой переменной t, называемой параметром. Полученные уравнения будут называться параметрическими уравнениями эллипса. Для получения параметрических уравнений эллипса, решим следующую задачу.

Отрезок постоянной длины скользит своими концами по осям прямоугольной системы координат. Составим уравнение линии, описываемой некоторой точкой М отрезка АВ. Точка М делит отрезок АВ на части АМ = а, МВ = b.

y

A а

P Q O Q

M

b

t

B x

Обозначим угол между осью Ох и вектором через Тогда угол ОBА = t.

Из треугольника РАМ имеем Из треугольника QМВ имеем

Когда отрезок АВ скользит по осям координат так, что он занимает последовательные положения в I,III и IV четвертях. Угол t будет меняться от 0 до 2 и точка М описывает кривую, для которой равенства

(3)

будут параметрическими уравнениями линии. Докажем, что формулы (3) являются уравнениями эллипса (2). Подставляя значения для х и у из (3) в формулу (2), получим тождество

Следовательно, уравнения (3) являются параметрическими уравнениями эллипса.

3⁰. Гипербола и ее каноническое уравнение. Асимптоты гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами

Для получения канонического уравнения гиперболы выбирают специальным образом систему координат: Ось Ох проводят через фокусы гиперболы, а ось Оу проводят через середину расстояния между фокусами.

y

r₂ M(x,y)

r₁

F ₂ O F ₁ x

Пусть точки F ₁ и F ₂ - фокусы гиперболы и. Тогда фокусы F ₁ и F ₂ имеют координаты F ₁(c;0), F ₂(- c;0). Точка М(x; у) - произвольная точка гиперболы. Отрезки и - называются фокальными радиусами точки М.

По определению гиперболы получаем уравнение или. Выражая в этом равенстве длины отрезков через координаты, будем иметь

Преобразуя полученное уравнение (так же как в случае уравнения эллипса), будем иметь

(4)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определим вид гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

1. Так как уравнение (21) содержит только квадраты переменных х и у, то гипербола располагается симметрично относительно осей координат и относительно начала координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Если у =0, то, откуда х = ± а Гипербола пересекает ось Ох в двух точках А ₁(а;0) и

А ₂(- a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если х =0, то откуда Действительных решений нет, следовательно, гипербола не пересекается с осью Оу.

Ось симметрии, пересекающая гиперболу, называется действительной осью симметрии. Отрезок, соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью гиперболы. Ось симметрии, которая не пересекает гиперболу, называется мнимой осью гиперболы.

3. Разрешим уравнение (21) относительно у.

Из этого равенства видно, что у принимает действительные значения только в том случае, когда Гипербола состоит из двух изолированных частей; для эта часть гиперболы называется правой ветвью, для - левой ветвью.

4. Гипербола имеет две прямые, которые называются асимптотами.

Асимптотой гиперболы называется прямая к которой неограниченно приближается точка гиперболы при удалении ее от начала координат.

Уравнения гиперболы имеют вид

y

b

a x

O X=x

Для построения гиперболы относительно данной системы координат, нужно построить прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b с центром в начале координат, провести прямые, проходящие через диагонали прямоугольника, которые будут асимптотами и затем построить гиперболу

y

F₂ F₁

x

.

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой е.

Для гиперболы е > 1.

4⁰. Парабола и ее каноническое уравнение.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Для того, чтобы получить уравнение параболы в более простой форме, выберем систему координат следующим образом: ось Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Точку пересечения оси Ох и директрисы обозначим D. За начало координат возьмем середину отрезка DF.

y

M(x,y)

r

D O F x

.

В выбранной системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид

у ² = 2 рх (5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением параболы. Исследуем форму параболы по ее уравнению.

1. Уравнение у ² = 2 рх не содержит свободного члена, следовательно, парабола проходит через начало координат.

2. В уравнении у ² = 2 рх переменная у входит в четной степени, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

3. Парабола расположена в правой полуплоскости, х ³ 0. При возрастании х от 0 до ¥ точки параболы неограниченно удаляются от начала координат.

Если фокус параболы расположен слева от начала координат, то есть он имеет координаты то уравнение параболы будетПарабола расположена в левой полуплоскости.

y

O x

F (-

Если фокус параболы лежит на оси Оу в точке, то уравнение параболы в этом случае будет иметь вид х ²= 2 ру. Парабола расположена в верхней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу.

y y

x

x

Если фокус параболы лежит на оси ординат в т, то уравнение параболы имеет вид х ²= -2 pу. Парабола расположена в нижней полуплоскости.

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция №5 «Аналитическая геометрия в пространстве»

«Плоскость и прямая в пространстве»

Цель лекции. Аналитическая геометрия изучает геометрические образы (элементы геометрии) с помощью анализа их уравнений. Изучаемый материал значительно облегчает построение большинства математических моделей. Цель лекции состоит в изучении свойств плоскости и прямой линии в пространстве с помощью анализа их уравнений, заданных в различных формах.