Канонические уравнения метода сил

В заданной системе в направлении имеющихся жестких связей (в том числе и тех связей, которые отброшены при переходе к основной системе) перемещений быть не может. Поэтому в эквивалентной системе перемещения по направлениям отброшенных связей должны быть равны нулю. Следовательно, реакции отброшенных связей должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям равнялись бы нулю. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений:

δ₁₁Χ₁ + δ₁₂Χ₂ + …+ δ_1nΧ_n + Δ_1Р = 0,

δ₂₁Χ₁ + δ₂₂Χ₂ + …+ δ_2nΧ_n + Δ_2Р = 0,

……………………………………..

δ_n1Χ₁ + δ_n2Χ₂ + …+ δ_nnΧ_n + Δ_nР = 0.

Эти уравнения являются теми дополнительными уравнениями деформаций (перемещений), которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю перемещения в эквивалентной системе по направлению первой отброшенной связи (по направлению силы или момента Χ₁), второе – по направлению второй отброшенной связи и т.д.

Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.

В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят перемещения основной системы, вызываемые единичными силами или моментами, действующими по направлениям отброшенных связей. Коэффициент δ_ij представляет перемещение по направлению связи i, вызванное силой (моментом), равной единице, действующей по направлению связи j. Коэффициенты δ_ij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициент Δ_iр представляет перемещение по направлению связи i, вызванное действием заданной внешней нагрузки. Коэффициенты Δ_iр называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты δ_ii называются главными коэффициентами, а коэффициенты δ_ij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений δ_ij = δ_ji.

Определяются коэффициенты канонических уравнений с помощью интегралов Мора по формулам:

δ_ij =

Δ_iр =

т.к. рамы это конструкции, работающие преимущественно на изгиб, то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от изгибающих моментов.

Для подсчета коэффициентов вычерчиваются единичные эпюры М_i изгибающих моментов в основной системе, т.е. эпюры от действия Х_i = 1. Отдельно строится грузовая эпюра М_р. Единичное перемещение δ_ij вычисляется «перемножением» единичной эпюры М_i на единичную эпюру М_j , а грузовое перемещение – «перемножением» единичной эпюры М_i на грузовую эпюру М _р по правилу Верещагина.

Правило Верещагина: Результат «перемножения» двух эпюр равен произведению площади Ω одной из них на ординату у_с другой (обязательно прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры. При перемножении ставится знак плюс, когда эпюра и ордината под центром ее тяжести, взятая из другой эпюры, имеют одинаковые знаки, и минус, - когда разные знаки. (Значения площадей и координаты центров тяжести приведены в приложении 1.)

Результат выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения следует разделить на величину EI.

ПРИМЕР

Ω · У_с = ⅓ ·а ·в ·l

Ω = ½ · а ·l

У_с = ⅔ ·в

Правилом Верещагина можно пользоваться в том случае, если одна из подынтегральных функций линейна, т.е. одна из «перемножаемых» эпюр прямолинейна, а другая может быть прямолинейной, ломаной или криволинейной.

ПРИМЕР

Ω · У_с = ⅓ ·в · l ·¼ ·а

Ω = ⅓ ·в · l

У_с = ¼ ·а

Если эпюра моментов на одном участке меняется, т.е. не является непрерывной и образует две различных подынтегральных функции, то такой участок разбивается на два участка и «перемножение» эпюр производится уже по двум соответствующим участкам.

Если обе подынтегральные функции криволинейны на одном участке

длиной l, то для приближенного вычисленияинтеграла Мора можно пользоваться формулой Симпсона.(С помощью формулы Симпсона можно «перемножать» любые эпюры.)

l/6 · (a · c + 4 ·f·g + в · d)

f, g – середины эпюр