Вывод первого моментного уравнения системы

3.2.3.1. Вывод первого моментного уравнения системы

Для получения первого моментного уравнения подставим выбранную первую весовую функцию (инвариант столкновения ) в уравнение (3.6), а затем выполним несложные преобразования. Вначале приходим к

, (3.13)

затем, становится очевидным, что

(3.14)

где функция распределения, как уже было принято выше, представляет собой сумму двух полумаксвеллианов: f = f ₁ + f ₂,которые заданы формулами (3.4) и (3.5). Подставляя функции f ₁ и f ₂ в уравнение (3.14), получаем:

(3.15)

Оба слагаемых распадаются на произведение трех интегралов:

(3.16)

Аналогичным образом получаем правую часть уравнения:

(3.17)

Для решения воспользуемся общеизвестными тригонометрическими формулами и формулами определенных интегралов:

где в рассматриваемом случае

Возьмем все интегралы в (3.16) и (3.17):

Для того чтобы взять интегралы по углу y применим известные тригонометрические формулы:

Таким образом, первая часть уравнения получается равной:

(3.24)

Вторая часть уравнения будет идентична первой:

(3.25)

Полное первое уравнение системы будет выглядеть следующим образом:

(3.26)

Это уравнение можно привести к следующему виду:

(3.27)

Далее, преобразуя (3.27), ищем окончательный вид первого моментного уравнения. Вначале имеем:

(3.28)

Поскольку в силу (2.59) верно соотношение r ×сosα = r_w, то уравнение (3.28) можно записать как

Константа G в уравнении (3.29), очевидно, равна или, по крайней мере, прямо пропорциональна произведению плотности потока массы на квадрат радиуса r. Поскольку описывается стационарный процесс теплопереноса через пленку пара, протекающий после прекращения роста паровой пленки, то количество пара не увеличивается, следовательно, поток массы в данном случае равен нулю: j = 0 [8] (как и для случаев плоской и цилиндрической геометрии).

В силу этого первое уравнение системы принимает окончательный вид:

3.2.3.2 Вывод второго уравнения системы

Второе уравнение системы получаем, подставив вторую весовую функцию (инвариант столкновения ξ_r) в уравнение (3.6), а затем выполнив ряд преобразований:

(3.31)

После подстановки, производные ¶Φ/ ξ _θ и ¶Φ/ ξ _φ равны нулю и уравнение принимает вид:

(3.32)

В полученное уравнение подставляем дифференциал d x, записанный в сферической системе координат, и получаем:

(3.33)

Подставим проекции скорости ξ _r ², ξ_θ²и ξ_φ², выраженные через ξ _p и углы y и g, и получим:

(3.34)

Преобразуем выражение (3.34):

(3.35)

Так как f = f ₁+ f ₂, интеграл разбивается на два:

(3.36)

(3.37)

Возьмем левую часть последнего уравнения, подставив обе функции
(f ₁ и f ₂), и тогда получим:

(3.38)

Оба слагаемых в (3.38) распадаются на произведения трех интегралов:

(3.39)

Второе слагаемое аналогично первому:

(3.40)

Возьмем все интегралы в двух их произведениях:

Подставляя полученные выше результаты в (3.39) и (3.40), получаем следующие выражения:

В итоге, левая часть второго моментного уравнения равна:

(3.41)

Правая часть уравнения представляет собой сумму четырех трехкратных интегралов, каждый из которых равен произведению трех интегралов:

(3.42)

Возьмем все интегралы в выражении (3.42). При этом воспользуемся известными тригонометрическими формулами:

Интеграл от экспоненциальной функции равен:

После подстановки всех полученных результатов в (3.42) имеем:

(3.43)

Таким образом, второе моментное уравнение имеет вид:

(3.44)

3.2.3.3. Вывод третьего уравнения системы

Третье моментное уравнение системы получаем, подставив третью выбранную весовую функцию (инвариант столкновения ξ ²) в уравнение (3.6), а затем выполнив несложные преобразования. Функция Ф₃, очевидно, должна быть представлена как

Подстановка Ф₃ в (3.6) дает

Преобразуем исходящее уравнение и получим:

(3.46)

Второе слагаемое, как не трудно заметить, обращается в нуль, и в конечном итоге получается:

(3.47)

Функция f представляет собой сумму двух полумаксвеллианов, поэтому

Возьмем все интегралы в (3.48):

Подставив полученные выше результаты интегрирования в (3.48), увидим, что

(3.49)

Далее подставим (3.49) в (3.47) и выполним небольшие преобразования получающегося в итоге уравнения. Очевидно, что из уравнения

(3.50)

следует равенство константе выражения, стоящего под знаком производной:

. (3.51)

Таким образом, с учетом того, что r ×сosα = r_w, третье моментное уравнение принимает вид:

. (3.52)

3.2.4. Плотность теплового потока в нелинейном приближении

3.2.4.1. Вывод соотношения для давления в паровой пленке

При принятой аппроксимации функции распределения молекул по скоростям, которая уже была записана ранее, выражение для давления пара имеет вид:

где

Вычислим значения P_rr:

Подставляем значение и получаем:

В уравнение подставляем полученное ранее значения Якобиана:

Преобразуем получившееся уравнение:

Трехкратные интегралы в (3.57) представляют собой произведения трех интегралов:

Подставив, уже имеющиеся значения интегралов в данное уравнение, получим окончательный вид выражения для P_rr:

Сделав некоторые преобразования, приходим к

Вычислим значение P _θθ:

Подставляем выражение для и получаем:

или иначе

Тройные интегралы равны произведению трех интегралов от функций каждой из трех переменных:

Подставив, уже имеющиеся значения интегралов в уравнение (3.64), получим окончательное решения для выражения P_θθ:

Несколько преобразовав, имеем следующий результат:

Вычислим значения P _jj:

Подставляем выражение для и получаем:

или же после подстановки выражения для дифференциала d x (записанного в сферической системе координат):

Далее аналогично предыдущим вычислениям имеем:

Подставив, уже известные значения вычисленных ранее интегралов в уравнение (3.69), получим окончательное выражение для P_φφ:

После небольших преобразований, получаем:

С сложим два получившихся выражения для Р_θθ и Р_φφ:

К получившемуся выражению прибавим выражение для Р_rr:

Окончательное выражение для давления пара имеет вид:

где угол a задан соотношением (2.51): .

3.2.4.2. Вывод соотношения для плотности теплового потока

Теперь получим выражение для плотности теплового потока q_r:

Из третьего моментного уравнения следует, что

. (3.75)

Сопоставив (3.75) с полученным выражением для плотности теплового потока

(3.76)

приходим к следующей взаимосвязи

. (3.77)

Откуда получаем

(3.78)

С учетом (3.78) третье моментное уравнение системы запишется как

(3.79)

Константа G (пропорциональная плотности потока массы) во втором моментном уравнении равна нулю, поскольку описывается стационарный процесс теплопереноса через пленку пара, протекающий после прекращения роста паровой пленки, следовательно, количество пара не увеличивается, и поток массы равен нулю. Поэтому второе уравнение системы принимает вид:

(3.80)

Из этого уравнения следует, что

(3.81)

Принимая во внимание (3.81) моментное уравнение (3.79) преобразуем следующим образом

. (3.82)

Из (3.82) получим

. (3.83)

Из соотношения для давления пара в пленке имеем:

(3.84)

Подставив в уравнение соотношение , следующее из (3.81) приходим к

(3.85)

Преобразуем уравнение (3.85) и придем к соотношению

(3.86)

из которого легко находим отношение функций температур, стоящих в принятой аппроксимации функции распределения:

(3.87)

Полученное выражение подставляем в уравнение (3.83) и получаем выражение для плотности радиального теплового потока q_r:

(3.88)

Граничные условия для сферической геометрии запишутся практически также как и в случае цилиндрической геометрии задачи:

при r = r_i T ₂(r_i) = T_i, (3.89)

и n ₂(r_i) = n_s (T_i). (3.90)

Из граничных условий следует, что произведение , поэтому из (3.88) легко получается соотношение для теплового потока через межфазную поверхность q_i (равного q_r на расстоянии r_i, поскольку в рассматриваемой системе существует только радиальный тепловой поток):