Решение задачи о теплопереносе при пленочном кипении на сфере

3.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛОПЕРЕНОСЕ ПРИ ПЛЕНОЧНОМ КИПЕНИИ НА СФЕРЕ

3.1.1. Физическая и математическая модели процесса теплопереноса при пленочном кипении на сферической греющей поверхности

Зададим аппроксимацию функции распределения в виде двухстороннего максвеллиана в произвольной точке в кольцевой области. Для удобства введем следующие обозначения:

,                                                                        (3.1)

                                                                  (3.2)

                                                                                 (3.3)

Тогда аппроксимация функции распределения запишется почти так же как и при решении кинетического уравнения переноса в цилиндрических координатах. При решении кинетического уравнения переноса, записанного в сферических координатах вид функции распределения будет следующим (см. рис 3.1):

f = f₁ + f₂,

В сферических координатах интегральное уравнение переноса, полученное из кинетического уравнения Больцмана (способом, аналогичным тому, который применялся для задачи в цилиндрических координатах) при наличии сферической симметрии имеет следующий вид [3]:

    (3.6)

 

Рис. 3.2. Сферическая система координат

 

3.1.2. Якобиан преобразования координат к сферическим координатам

Введем новую систему координат в пространстве скоростей. Новый дифференциал пространства скоростей будет иметь следующий вид:

                                                                   (3.7)

где  – модуль якобиана преобразования системы координат.

Якобиан преобразования системы координат определяется по формуле:

                                                          (3.8)

В рассматриваемом случае связь старых и новых координат определяется формулами (3.3). Следовательно, определитель Якоби равен:

        (3.9)

Вычисление определителя Якоби производится нижеследующим способом и дает результат:

           (3.10)

Модуль определителя Якоби, очевидно, равен:

                                                                         (3.11)

 

3.1.3. Вывод системы моментных уравнений

Поскольку уравнение решается в четырехмоментном приближении, необходимо получить систему их четырех уравнений. Для решения этого уравнения возьмем четыре весовых функции, при этом три из них будут инварианты столкновений, так как в этом случае моменты интеграла столкновений равны нулю.

Весовые функции, которые подставляются в уравнение (3.6) возьмем следующие:

                                                                                     (3.12)

где m – это масса молекулы, а ξ – вектор скорости.