2021-11-09
51
При косвенных измерениях искомая величина 
вычисляется по формуле, аналогичной (1.1) или (1.2), выведенной на основании каких-либо физических законов, при подстановке в неё нескольких величин 
, 
, 
, …, полученных прямыми измерениями, а также известных табличных значений и констант. То есть, имеется функция нескольких переменных:
. (1.16)
При изменении значения любого аргумента или , или ,…., будет изменяться и значение функции. Например, пусть изменилось на малую величину 
, тогда значение функции изменится на 
:
. (1.17)
Здесь 
– частная производная функции по переменной при условии, что остальные аргументы , , … не изменяются.
При изменении изменение функции равно:
, (1.17а)
и так далее. Полное изменение
. (1.18)
Если изменяются все аргументы , , , … функции 
, то теория функций нескольких переменных даёт такую формулу для полного дифференциала (полного изменения) функции:
. (1.19)
Хотя погрешности – тоже своего рода малые изменения, и похожи на дифференциалы, но есть между ними существенные отличия. Например, погрешности, по определению, всегда положительны (модуль отклонения от среднего), а изменения (1.17), (1.17а), … в общем случае могут быть отрицательны, так что в формулах (1.18) и (1.19) могут частично компенсировать друг друга. Поэтому рекомендуется вместо суммы в (1.18) использовать корень из суммы квадратов (1.20), аналогично теореме Пифагора, поскольку изменения аргументов , 
, 
, … независимы друг от друга, «ортогональны». (Тот же принцип «независимости» работает в (1.15).)
,
. (1.20)
Напомним, что частные производные вычисляются так же, как и обычные, но если это производная, например, по , то только считается переменной, а все остальные аргументы , , … – константы.
Пример 1: расчёт погрешности момента инерции I маятника Максвелла по (1.21). Здесь I – функция пяти переменных:
. (1.21)
По (1.20):
,
где 
; 
; 
;
; 
.
Замечание 5: Расчёт производных и погрешностей по (1.20) бывает громоздкой задачей. Однако в некоторых случаях можно сильно упростить расчёты, например, в случае, если в формулу для f входят только степени, умножение и деление. В качестве примера 2 возьмём (1.2):
. (1.2)
В соответствии с (1.20)
При вычислении производных степенных функций степень переменной уменьшается на единицу и идёт как множитель, например:
, 
, 
,
поэтому при вычислении относительной погрешности 
громоздкие формулы после сокращения упрощаются:
.
Замечание 6: Из-за громоздкости вычислений по (1.20) допускается при неоднократных косвенных изменениях использовать формулу расчёта случайных погрешностей при прямых изменениях (1.14), хотя это и неправильно: из-за нелинейности зависимостей даже в случае справедливости нормального распределения Гаусса для каждого из аргументов , , , …, распределение для величины y не будет нормальным.
