Вычисление случайных погрешностей при прямых измерениях

Для повышения надёжности измерений увеличивают их число. Пусть , ,… ,… – результаты прямых измерений величины x, полученные в одних и тех же условиях; N – число измерений. Важно: измерения должны проводиться в одних и тех же условиях; только в этом случае имеет смысл рассчитывать среднее арифметическое:

. (1.7)

Замечание 1: если случайная погрешность мала по сравнению с приборной, то выполнять измерение следует один раз: бессмысленно пытаться грубым прибором получить точное значение.

Замечание 2: полученное в (1.7) среднее арифметическое не является истинным, точным значением величины:

Истинное значение случайной величины в принципе не может быть получено при конечном количестве измерений N, а законы квантовой механики (принцип неопределённостей Гейзенберга) вообще ставят запрет на возможность получить точные значения величин в определённых условиях. Таким образом, истинное значение величины x лишь попадает в интервал

(1.8)

с определённой вероятностью , величина которой зависит от желаний экспериментатора. Вероятность называется доверительной вероятностью; она даёт долю измерений , при которых результат измерения попадает в интервал (1.8), при :

Рекомендуется использовать значение доверительной вероятности : требование – слишком строгое для учебной лаборатории, а – слишком мягкое.

Замечание 3: теория случайных погрешностей базируется на двух главных предположениях, подтверждаемых опытом:

· при большом числе наблюдений одинаково часто встречаются погрешности одинаковой величины, но разного знака;

· большие (по модулю) погрешности встречаются реже, чем малые.

Считая число измерений достаточно большим, можно нарисовать гистограмму. На рис.1 приводится количество студентов, получивших тестовые оценки на сайте дистанционного обучения ВоГУ в соответствующих диапазонах с интервалом в ; количество участников N =119. Вместо числа участников по вертикальной оси можно откладывать долю студентов, получивших оценки в соответствующих диапазонах; это будет нормированная гистограмма. Наконец, возьмём предельный переход: число участников (число опытов) , поэтому ; ширина интервала (с баллами это не получится, так как они дискретны, в отличие от многих физических величин). Результат – так называемое распределение Гаусса (1.9), см. график на рис.2.

. (1.9)

Выясним смысл приведённой функции. Обозначим через число измерений, для которых физическая величина x попала в интервал значений между и , через – полное число измерений. Вероятность того, что величина x имеет значения, лежащие в интервале между и , прямо пропорциональна величине интервала :

, (1.10)

где коэффициент пропорциональности в общем случае также зависит от x. Значение функции численно равно вероятности того, что величина x лежит в единичном интервале вблизи заданногоx. называется плотностью вероятности или функцией распределения вероятностей случайной величины x.

. (1.11)

Вероятность того, что величина x окажется в интервале значений , равна площади под графиком функции в соответствующем интервале, то есть интегралу

. (1.12)

Площадь под всем графиком равна 1 (с вероятностью 100% результат измерений попадает в интервал ). Значения определенным образом группируются относительно среднего значения . Мерой отклонения значений от среднего значения служит среднеквадратичное отклонение :

. (1.13)

Вероятность попадания в интервал шириной от до равна (см. рис.2), а для интервала вероятность повышается до .

Квадрат среднеквадратичного отклонения величины называется дисперсией.

Чем меньше дисперсия, тем острее максимум функции, меньше ширина графика рис.2 на фиксированной высоте, меньше разброс результатов вокруг среднего; короче, точнее измерения и меньше погрешность.

Случайная погрешность вычисляется по формуле (1.14).

. (1.14)

Здесь учтено, что в реальных опытах число измерений N конечно; погрешность уменьшается с увеличением N, и зависимость эта нелинейна и сложна. Её выяснил Уи́льям Си́ли Го́ссет (William Sealy Gosset), публиковавший результаты под псевдонимом «Student» (студент). Эта зависимость учитывается с помощью коэффициента Стьюдента , зависящего и от числа опытов, и от заранее заданной доверительной вероятности. Таблицу коэффициентов Стьюдента можно найти в приложении к лабораторному практикуму; а также в табл.4; здесь доверительная вероятность .

Таблица 4

N
	12.7	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.20	2.14	2.09	2.06

Замечание 4: если случайная погрешность (1.14) соизмерима с приборной , то окончательное значение погрешности величины следует вычислять по формуле (1.15):

. (1.15)

Если одна из них больше другой более чем в 3 раза, то м е ньшей следует пренебречь.

Пример вычисления случайной погрешности при прямых измерениях (измеряется время движения груза; лабораторные работы «маятник Максвелла», «маятник Обербека», «крутильные колебания», «маховое колесо») приводится в таблице 5; число измерений N= 5.

Порядок действий при расчётах:

1. Находим среднее арифметическое (см. формулу 1.7):

2. Вычисляем отклонения от среднего в каждом опыте:

, и т.д., см. таблицу 5.

3. Возводим в квадрат (столбец таблицы ):

; , и т.д.

4. Вычисляем сумму квадратов отклонений от среднего:

5. Находим по табл.4 коэффициент Стьюдента для , N= 5 и вычисляем случайную погрешность по (1.14):

6. Допустим, что наш секундомер – цифровой, измеряющий время с точностью до десятых долей секунды, тогда его приборную погрешность следует оценить как единицу последнего даваемого секундомером разряда: