2021-11-09
62
4. Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
Рассмотрим простейший пример. Пусть величина 
измерена с погрешностью 
, а величина 
– с погрешностью 
:
, или 
;
, или 
.
Оценим максимально возможную погрешность величины 
. Очевидно, величина С может варьироваться от (17+9)=26 до (23+11)=34, то есть
, или 
, или 
.
Таким образом, 
. Аналогично для разности: если 
, то с учётом погрешностей исходных величин D варьируется от 
до 
; тогда 
; 
. Погрешность разности, как и суммы, равна сумме погрешностей; погрешности складываются, но не вычитаются. В случае более сложных математических операций с величинами используется аппарат дифференциального исчисления.
4.1. Производная и дифференциал функции
Производной непрерывной функции 
в точке x называется предел:
,
где приращение 
функции, соответствующее приращению аргумента, равно
.
Из графика (рис.3) тангенс угла α наклона секущей (хорда 1-2) к оси абсцисс:
.
В пределе 
точка 2 приближается к точке 1, 
. Отсюда графический смысл производной:
.
Производная показывает быстроту изменения функции с изменением аргумента.
Частная производная. Пусть есть функция нескольких (например, трёх) переменных: 
. Частная производная функции по одной из переменных, например, по x 1, вычисляется так, будто только x 1 является переменной, а остальные переменные (x 2 и x 3) фиксированы:
.
Аналогично можно найти производные по оставшимся переменным:
,
.
Дифференциал функции одной переменной: 
.
Полный дифференциал функции нескольких переменных:
.
Полная производная сложной функции. Пусть есть функция нескольких переменных: 
, причём 
, 
, 
; t имеет смысл параметра (например, времени). Тогда полная производная функции f по параметру t:
.
