Передаточная функция и разностное уравнение

3.2. Передаточная функция и разностное уравнение

Нами уже установлено, что реакция у (п)цифрового фильтра на входное воздействие х (п)определяется, в соответствии с формулой (2.13), сверткой этого воздействия с импульсной характеристикой фильтра:

                      

Из свойств z -преобразования следует, что свертке последовательно­стей х (п)и h (n)соответствует произведение их z -преобразований

                         Y (z) = X (z) H (z).                                     (3.11)

Из (3.11) следуют выводы:

1) H (z) является z -преобразованием импульсной характеристики фильтра h (n):

                                                                     (3.12)

2) Так как X (z) и Y (z) - это z -преобразования входного воздействия и выходной реакции цифрового фильтра, то H (z) является передаточной функцией фильтра:

                       H (z) = Y (z)/ X (z).                                 (3.13)

Рассмотрим ранее обсуждавшийся пример расчета цифрового фильтра на основе аналогового прототипа в виде однозвенной RC -цепи (см. рис. 2.1). Дискретную импульсную характеристику запишем в общем виде с учетом некоторого масштабирующего множителя a:

                                                                        

Найдем передаточную функцию цифрового фильтра, определив z -преобразование его ДИХ:

                                       (3.14)

Выражение для H (z) представлено в (3.14) как сумма членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q:

                                         .

Используя формулу суммирования прогрессии, получим:

                                                                    (3.15)

где

Запишем H (z) в виде:

                                       (3.16)

Рис. 3.2.

Устройство с обратной связью.

 

Такой записи соответствует представление фильтра в виде каскадного соединения двух блоков (рис. 3.2), из которых один выполняет функции масштабирования с коэффициентом a, а в другом действует обратная связь. Коэффициент передачи прямого тракта во втором блоке равен K, коэффициент передачи цепи обратной связи:  b. Сопоставляя (3.15) и (3.16), получим для нашего цифрового фильтра K = 1 и b = bz ^-1 , что соответствует структуре цифрового фильтра, изображен­ной на рис. 3.3. Блок, обозначенный символом z ^-1, производит задержку выходной последовательности на одинтакт дискретизации.

Рис. 3.3.

Рекурсивный цифровой фильтр.

 

Структура схемы на рис. 3.3 совпадает со схемой цифрового фильтра, полученной ранее на основе дискре­тизации дифференциального уравнения и приведенной на рис. 2.2. Отличие рис. 2.2 и 3.3 состоит в обозначении блока задержки. Отметим, что в структуре рис. 3.3 коэффициент b определен уже абсолютно точно.

Передаточную функцию цифрового фильтра, полученную как z -пре­образование его ДИХ по выражению (3.13), в самом общем виде можно представить отношением двух полиномов, иначе дробно-рациональной функцией от пе­ременной z ^{- k}:

                                                                (3.17)

Это наиболее общее выражение для H (z). Коэффициенты a_k и b_k называют­ся коэффициентами цифрового фильтра. Цифровой фильтр считается рассчитанным (синтезированным), если опреде­лены порядки M и L полиномов числителя и знаменателя и коэффициенты   a_k   и   b_k.

Выражение (3.17) для H (z)позволяет составить разност­ное уравнение цифрового фильтра. Перепишем  (3.17) в та­ком виде:

                                          (3.18)

Произведя в (3.18) обратное z -преобразование, получим

                                             (3.19)

Вынесем у (п)в левую часть и получим окончательное вы­ражение для разностного уравнения цифрового фильтра:

                                         (3.20)

Обратим внимание, что коэффициенты разностного уравнения являются соответствующими коэффициентами передаточной функции (3.17) цифрового фильтра. Разностное уравнение представляет собой алгоритм, по которому можно составить программу для цифрового процессора, выполняющего функции цифрового фильтра.