Последовательная форма

Возьмем выражение (3.31) в качестве исходной записи для состав­ления передаточной функции цифрового фильтра в последовательной (каскадной) форме:

                                                 (4.11)

Преобразуем (4.11), введя величины   z ^{- M} и z ^{- L}   в скобки со­множителей:

                                                                        (4.12)

где z _{0 k} и z _{П k} - соответственно нули и полюсы функции (4.11).

В выражении (4.12) отдельные сомножители вида

представляет собой передаточные функции цифровых фильтров 1-го порядка. Группировка этих сомножителей должна подчиняться определенным правилам, вытекающим из следующих соображений. Предположим, что передаточная функция фильтра обладает только комплексно-сопряженными ну­лями и полюсами. Это означает, что в(4.12) все величины z _{0 k} и z _{П k} разбиты на пары комплексно-сопряженных чисел. Для того чтобы получить отдельный блок последовательной структуры в виде цифрового фильтра минимального порядка с действительными коэффициентами (иначе фильтр не реализуем), необходимо в числителе и знаменателе передаточной функции этого блока сгруппировать по две скобки, содержащих сопря­женные нули и полюсы:

где z  и z ^* - комплексно-сопряженные числа, а коэффициенты a _1,2и b _1,2- действительные числа.

Таким образом, элементарным блоком в последователь­ной структуре фильтра, передаточная функция которого имеет только комплексные нули и полюсы, является цифровое звено 2-го порядка - биквадратный блок.

Предположим теперь, что передаточная функция цифрового фильтра обладает только действительными нулями и полюсами. В этом случае возможно в качестве элементарного блока последовательной структуры использовать цифровое звено 1-го порядка с передаточной функцией

Однако на практике для идентичности представления общей каскадной структуры этот блок также выполняется в виде биквадратного блока. Передаточная функция такого блока имеет два действительных нуля и два действительных полюса.

Если общее число действительных нулей или полюсов не­четное, то общая последовательная структура дополняется одним цифровым фильтром 1-го порядка.

Если в выражении (4.12) передаточной функции порядки числителя и знаменателя отличаются (M ≠ L),то к структуре, состоящей из каскадного включения биквадратных блоков, добавляется либо чисто нерекурсивный (при M > L),либо чисто рекурсивный (при L > M)цифровой фильтр. Если порядок этого добавочного фильтра достаточно высок, то его также следует представить в последовательной форме.

Внутренняя группировка каскадов в общей последова­тельной структуре должна производиться так, чтобы не до­пустить местных переполнений регистров (перегрузок). Для этого надо чередовать каскады с резко различными значениями усиления. В частности, эта цель может быть достигнута представлением общего множителя a ₀ в (4.12) рядом сомножителей

                                         a ₀ = a ₀₁ a ₀₂ a ₀₃…,

каждый из которых относится к соответствующему каскаду общей последовательной структуры. Значения сомножителей выбираются так, чтобы можно было обеспечить указанное чередование усилений каскадов.