Расчет детали на скручивание

Рассмотрим модель горизонтальной жестко заделанной балки и мысленно выделим из нее элементарный участок (Рис. V.4).

Рис. V.4

Если γ – угол поворота балки – постоянный, то со временем меняется и угол поворота сечения dφ, тогда длина дуги bb ' равна:

где ρ – расстояние от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис. V.5, а).

а) б)

Рис. V.5

Тогда:

При использовании формулы (V.1), получим:

. (V.2)

Из закона распределения касательных напряжений следует, что крутящий момент dМ_z в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

где dA – площадь элементарной площадки.

Тогда полный внутренний крутящий момент М_z:

или:

Из курса теоретической механики известно:

где I_ρ - полярный момент инерции сечения.

Тогда используя формулу (V.2), получим формулу распределения касательного напряжения по сечению:

Значение касательного напряжения определяется величиной радиуса ρ от оси балки до элементарной площадки сечения (Рис. V. 6):

Рис. V. 6

если ρ =0, то τ =0

если ρ =max= d /2, то τ =max.

Внутренняя зона (ρ ~0) не сопротивляется скручиванию, поэтому валы обычно делают с осевым отверстием, т.е. валы кольцевого сечения.

Оценка деформации вала заключается в определении угла поворота φ вала под действием крутящего момента:

тогда:

Произведение I_ρ · G является механической характеристикой материала и называется жесткостью.

I_ρ – геометрическая характеристика сечения, которая показывает закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, при этом описывает способность сечения сопротивляться скручиванию. Размерность полярного момента инерции сечения:

Размерность полярного момента выводится из расчета статистического момента сечения,

определяемым интегралом:

тогда:

для балки прямоугольного сечения основной геометрической характеристикой при расчете на прочность является осевой момент инерции сечения I_x (Рис. V. 5, б):