VI. Изгиб

Изгиб – деформация тела балки под действием сил в продольных плоскостях. Изгиб бывает поперечный (происходит под действием сил и моментов), чистый (действует только изгибающий момент) или плоский (ось балки прогибается в одной плоскости).

Рассмотрим случай чистого изгиба (Рис. VI.1) – балка изогнута под действием изгибающих моментов.

Рис. VI. 1

Исходя из характера деформации балки можно установить, что при чистом изгибе происходит поворот поперечных сечений без искажения, тогда как продольные слои балки деформируются (сжимаются и растягиваются) (Рис. VI. 2).

Рис. VI. 2

ρ – радиус кривизны слоя;

θ – угол поворота торца.

Как видно из рис. VI. 2 на выпуклой стороне слои балки растягиваются, что приводит к появлению положительного напряжения (+ σ), а на вогнутой – сжимаются, с возникновением отрицательного напряжения (– σ). В средней зоне, т.е. на оси балки, нет напряжений и нет деформаций – это нейтральный слой (нейтральная ось), длина которого не меняется.

С целью вывода формул для определения нормального напряжения и кривизны балки рассмотрим элементарный участок длиной l (Рис. VI. 3).

Рис. VI. 3

Исходная длина балки – ОО₁, dθ – угол поворота торцевых перемещений, у – расстояние от нейтральной оси до некоторого слоя.

Если из точки О провести линию, параллельную правому торцу, дуга bc будет равна ОО₁, а дуга аb – абсолютному удлинению торцов изгиба, т.е.:

тогда относительная деформация равна:

или

тогда:

. (VI. 1)

Введем величину k, называемую собственной кривизной и равную:

. (VI. 2)

Из аналитической геометрии следует:

. (VI. 3)

Степень в знаменателе формулы (VI. 3) существенно не влияет на равенство в связи с тем, что деформации жесткой балки малы, т.е. ими можно пренебречь, тогда:

Применяя закон Гука:

и формулы (VI. 1) и (VI. 2), получим формулу для определения нормального напряжения в любом слое балки (Рис. VI. 4):

Рис. VI. 4

Напряжение σ и его плечо у образует момент, тогда для элементарной площадки можно вывести формулу внутреннего изгибающего момента dM_x:

полный внутренний изгибающий момент M_x равен:

или

где - осевой момент инерции сечения I_x,

тогда:

следовательно:

. (VI. 4)

Формула (VI. 4) позволяет вести расчет на прочность сечения изогнутой балки. Но на практике обычно вместо осевого момента инерции сечения I_x используют осевой момент сопротивления сечения W_x, равный:

Физический смысл I_x сводится к тому, что эта величина – геометрическая характеристика сечения, описывающая закономерность распределения элементарных площадок по всему сечению, а так же показывающая способность сечения сопротивляться изгибу. Таким образом, условием статической прочности балки при изгибе является выражение:

В зависимости от расстояния между элементарной площадкой сечения и осью балки изменяется напряжение при изгибе (Рис. VI. 5): чем дальше элементарная площадка от оси, тем больше величина напряжения (формула (VI. 4)).

Рис. VI. 5

В связи с этим рациональным является использование именно балки прямоугольного сечения, называемые двутаврами, средний слой которой не сопротивляется изгибу (Рис. V. 6).