Метод Ньютона. Пусть уравнение f(х)=0 на отрезке [а; b] имеет изолированный корень x*, то есть f (a)× f (b) < 0

Пусть уравнение f(х) =0 на отрезке [ а; b ] имеет изолированный корень x*, то есть f (a)× f (b) < 0, а функции f (x) и f' (x) непрерывны и сохраняют свой знак на [ a; b ].

Пусть х_k - k-е приближение корня. Разложим f (х) в ряд Тейлора в окрестности точких_k.

.

Вместо уравнения f (х) =0 рассмотрим уравнение

f (x_k) +f’ (x_k)×(x-x_k)=0,

Которое учитывает только линейную относительно х — х _k часть ряда Тейлора. Разрешив его относительно x, получим

.

Взяв найденное значение х за следующее приближение, получим

, k=0.1, 2, …. (6)

Формула (6) определяет метод Ньютона. Он имеет простую геометрическую интерпретацию. Значение, х_k+1 является абсциссой точки пересечения касательной с кривой у= f(x) в точке (x_k, f(x_k)) (рис. 2). Поэтому метод Ньютона называют еще методом касательных. Из рис.2 видно, что последовательные приближения сходятся к корню х* монотонно.

За начальное приближение в методе Ньютона следует брать точку

x₀Î [ a; b ], в которой .

Достаточные условия сходимости метода Ньютона дает такая теорема.

Теорема. Пусть на отрезке [ a; b ] функция f (х) имеет непрерывные с устойчивыми знаками производные f’(x) ¹ 0, f'’(x) ¹0 и f (a)×f(b) <0. Тогда существует такая окружность R Ì [ a; b ] корня х* уравнения f(x)=0, что для любого x₀Î R последовательность {x_k}, вычисленная по формуле (6), сходится к корню х*.

Преимущество метода Ньютона перед методом итерации в том, что он имеет более высокую скорость сходимости.

Недостатком метода Ньютона является то, что на каждой итерации нужно вычислять не только значение функции f (х), но и значение ее производной f' (х).