Метод хорд

Метод хорд — один из распространенных итерационных методов. Его еще называют методом линейного интерполирования, методом пропорциональных частей.

Идея метода хорд в том, что на достаточно малом отрезке дуга кривой у =f (x) заменяется хордой и абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox является приближенным значением корня.

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Пусть для определенности f' (х)> 0, f'' (x) >0, f (а) <0, f (b)> 0 (рис. 3, а). Возьмем за начальное приближение искомого корня х* значения х₀=а. Через точки а₀ и В проведем хорду и за первое приближение корня х* возьмем абсциссу x₁ точки пересечения хорды с осью ОХ. Теперь приближенное значение х ₁ корня можно уточнить если применить метод хорд на отрезке [х₁; b ]. Абсцисса х ₂ точки пересечения хордыА₁В будет другим приближением корня. Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х₀, х₁, х₂,..., х_k,... приближенных значений корня х* данного уравнения.

Таким образом метод хорд можно записать так:

, k=0, 1.2, …, (8)

В общем случае неподвижным будет тот конец отрезка изолированного корня, в которой знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной, а за начальное приближение x₀ можно взять точку отрезка [ а; b ], в которой f(x₀)×f'’(x₀) < 0.

Например, когда f (a) >0, f (b) <0, f'(х)< 0, f"(х)< 0 (рис..3, б) конец b отрезка [ а; b ] является неподвижным.

Если f (а)>0, f (b)< 0, f' (х)< 0, f"(x) >0 (рис.3, в), или f (а) <0, f (b) >0, f’ (х) >0, f'’ (x) <0 (рис. 3, г), точка а является неподвижным концом отрезка [ а; b ].

Достаточные условия сходимости метода хорд дает такая теорема.

Рисунок 3. – Геометрическая интерпретация метода хорд

Теорема. Пусть на отрезке [ а; b ] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)×f(b)<0, а производные f' (x) и f" (х) сохраняют свои знаки на [ а; b ], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f (x) =0, что для любого начального приближения х ₀ этой окружности последовательность {х_k}, вычисленная по формуле (8), сходится к корню х*.