Постановка задачи. Теоретические сведения

Теоретические сведения.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

Задача численного интегрирования заключается в вычислении посредством ряда значений подынтегральной функции y=f(x).

Численные методы можно условно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона- Котеса основаны на аппроксимации функции f(x) полиномом степени n. Алгоритмы этого класса отличаются только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирования полинома – равноотстоящие.

Методы сплайн- интегрирования базируются на аппроксимации функции f(x) сплайном – кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используют специально выбранные не равноотстоящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используют чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n – числа разбиений отрезка [a;b]. Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины h частичного отрезка.

Чаще всего используют квадратурные формулы, в которых используются значения подынтегральной функции в отдельных точках отрезка интегрирования, т.е. формулы вида

. (1)

Сумму в правой части называют квадратурной суммой, действительные числа x_k и A_k соответственно узлами и коэффициентами квадратурной формулы. Будем считать, что узлы квадратурной формулы (5.2) пронумерованы в порядке возрастания x₁<x₂<...<x_n.

Равенство (1) приближенное. Разницу между определенным интегралом и квадратурной суммой

, (2)

называют остаточным членом, или погрешностью квадратурной формулы (1).