Формула прямоугольников

Приближенное значение интеграла, где f непрерывна на [x₀; x₀+h] можно найти, если функцию заменить интерполяционным многочленом нулевой степени, т.е. для всех xÎ[x₀; x₀+h] положить f(x)=f(c), где cÎ[x₀; x₀+h]. Тогда получим приближенное равенство

. (3)

Если f(x)³0 непрерывна на [x₀;x₀+h], то приближенное равенство можно толковать геометрически так: за приближенное значение криволинейной трапеции ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком функции, а по бокам прямыми и, берется значение площади прямоугольника. Если c=x₀ или c=x₀+h, или, то (3) называют соответственно формулой левых или правых, или средних прямоугольников.

Если непрерывная функция f задана на большом промежутке [a; b], а желательно вычислить с большей точностью, то отрезок [a; b] делят на n равных отрезков длиной h=(b-a)/n, точками: a=x₀<x₁ < x₂ < …< x_k < x_r+1<…< x_n=b.

И к каждому из отрезков [x_k; x_k+1] (k=0,1,…,n-1) применяют формулу (3)

Получают

, (4)

где с- произвольная точка из отрезка [x₀;x₁].

Положив в (3) с=а; с=а+h, с=а+1/2h, можно вывести обобщенные формулы соответственно левых, правых и средних прямоугольников.

Остаточный член для метода средних прямоугольников запишется в виде:

. (5)