Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений исследуемого количественного признака.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
Определить среднюю величину признака во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) – отношение суммарного значения усредняемого признака к объему совокупности.
В статистике используют различные формы средних величин. При решении практических задач наиболее часто используют следующие:
1. Средняя степенная [2]:
В зависимости от значения m (-1; 0; 1; 2; …) получают соответственно среднюю гармоническую, среднюю геометрическую, среднюю арифметическую, среднюю квадратическую и т.д.
2. Средняягармоническая (m = -1):
3. Средняя геометрическая [3] (m = 0):
,
где .
4. Средняя арифметическая (m = 1):
Средняя арифметическая является наиболее распространенной средней величиной. Рассмотрим основные свойства средней арифметической.
|
|
4.1. Средняя арифметическая постоянной величины равна самой постоянной величине.
4.2. Сумма произведений вариант на соответствующие им частоты равна произведению средней арифметической на сумму частот:
.
4.3. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:
.
4.4. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) во столько жераз:
,
,
где с ≠ 0 – const.
4.5. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшится) на то жечисло:
,
где с – const.
4.6.. Если все частоты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится:
,
,
где с ≠ 0 – const.
4.7. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
.
4.8. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:
,
где - средняя арифметическая i-ой группы;
l – количество групп, рассматриваемого ряда;
li – число вариант i-ой группы;
nij – частота j-ой варианты, принадлежащей i-ой группе.
Необходимо различать среднюю арифметическую генеральной совокупности (генеральная средняя) и выборки (выборочная средняя). Последняя рассчитывается оп опытным (выборочным) данным и является точечной оценкой генеральной средней арифметической. В дальнейшем генеральную среднюю арифметическую будем обозначать , а выборочную - .
5. Средняяквадратическая (m = 2):
|
|
Средние гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая и др. средние степенные связаны между собой следующим образом:
Таким образом, с увеличением порядка m значение средней величины возрастает, т.е. средние степенные более высоких порядков доминируют над средними степенными более низких порядков. Данное свойство средних величин называют свойством мажорантности (доминирования) средних.