Показатели вариации. При решении практических задач оценка рассеяния (вариации) значений рассматриваемого признака может оказаться не менее важной

При решении практических задач оценка рассеяния (вариации) значений рассматриваемого признака может оказаться не менее важной, чем определение средней величины или структурных характеристик.

Под вариацией в статистике понимается – многообразие, колеблемость, изменяемость значений признака в рассматриваемой совокупности.

Показатели вариации можно разбить на две группы: абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относят: 1) размах вариации (вариационныйразмах); 2) среднеелинейноеотклонение; 3) дисперсия; 4) среднееквадратическоеотклонение (стандартное отклонение).

1. Размах вариации (вариационный размах) – разность между наибольшей и наименьшими вариантами ряда:

2. Среднеелинейноеотклонение вариационного ряда – это средняя арифметическая абсолютных отклонений вариантов от их средней арифметической:

3. Дисперсия – это средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической:

Основными свойствами дисперсии являются:

3.1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

3.2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число с раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в с² раз:

где с ≠ 0 – const.

3.3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится:

где с – const.

3.4. Средний квадрат отклонений вариантов от их средней арифметической меньше, чем от любой другой постоянной величины:

или

причем

где с – const.

3.5. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической:

3.6. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из групповых дисперсий (правило сложения дисперсий):

где - межгрупповая дисперсия, - средняя из групповых дисперсий.

где l – количество групп, на которые разбит ряд;

l_i – численность вариантов i -ой группы ();

- средняя арифметическая i -ой группы (групповая средняя) ();

n_ij – частота j -ого варианта, принадлежащего i -ой группе (; );

- групповая дисперсия ().

4. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение - арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

Необходимо различать дисперсию и стандартное отклонение генеральной совокупности (генеральная дисперсия, генеральное среднее квадратическое отклонение) и выборки (выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение). Последние рассчитываются оп опытным (выборочным) данным и являются точечными оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности. В дальнейшем генеральную среднюю дисперсию будем обозначать , генеральное среднее квадратическое отклонение - , выборочную дисперсию – s², выборочное среднее квадратическое отклонение - s.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение имеют большое значение в статистике, в частности, при анализе статистических распределений. К примеру, если исследуемая совокупность подчинена нормальному закону (или близкому к нему), то существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения (а также вариационным размахом) и числом наблюдений:

· в пределах располагается 68,3% единиц совокупности;

· в пределах располагается 95,45% единиц совокупности;

· в пределах располагается 99,7% единиц совокупности (практически вся совокупность).

Данное правило в статистике получило название «правило трех сигм».

Относительными показателями вариации являются: 1) коэффициент осцилляции; 2) линейныйкоэффициентвариации; 3) коэффициентвариации.

Относительные показатели вариации представляют собой отношение определенного абсолютного показателя вариации к среднему арифметическому, т.е. выражают вариацию признака в долях средней арифметической.

1. Коэффициент осцилляции: