При движении точки по кривой естественные оси перемещаются вместе с точкой, образуя правую систему координат

, , являются единичными векторами, направленными по трем взаимно перпендикулярным осям .

Рис.3

За время точка М по траектории перешла в положение (рис. 4). За это время дуговая координата изменилась на , а ра­диус-вектор — на . Используя определение скорости, запишем:

.

Обозначим

.

Вектор направлен по касательной к траектории, как про­изводная вектора по скалярному аргументу (рис. 4), в сторону возрастания дуговой координаты . Модуль этого вектора равен единице. Он представляет собой предел отношения длины хорды () к длине стягивающей ее дуги () при стремлении к нулю:

.

Скалярную величину , представляющую проекцию век­тора скорости на касательную, называют алгебраической скоростью точки. Если , то вектор скорости направлен по , т. е. в сторону возрастания значений S (рис. 11), а если , то вектор скорости направлен в сторону убывающих значений дуго­вой координаты.

Тогда

Рис. 4

,

или

.

Для определения ускорения дифференцируем выражение по времени:

,

где .

Тогда

.

Ускорение точки состоит из двух взаимно перпендикулярных
составляющих. Одна направлена по касательной к траектории, а другая - по нормали к этой траектории в сторону ее вогнутости. Эти составляющие называют соответственно касательным и нормальным ускорениями точки. Они лежат в со­прикасающейся плоскости.

Проекция ускорения точки на би­нормаль равна нулю, так как вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости (рис. 5):

.

Рис. 5

Вектор касательного ускорения

,

модуль касательного ускорения

.

Вектор нормального ускорения

,

модуль нормального ускорения

.

Модуль ускорения равен:

.

Угол отклонения вектора ускорения от нормали составит (рис. 5):

.