2014-02-09
438
Производная
Пусть функция у=f (x) задана в окрестности точки х 0 R и, следовательно, функция определена на проколотой окрестности точки х 0.
Если существует предел, то он называ-ется производной функции f в точке х 0 и обозначается f ′ (x 0).
Таким образом
f ′ (x 0)=.
Через приращение функции ∆ у и приращение аргумента ∆ х получаем определение производной в виде
у ′ =.
Если предел равен ∞, +∞ или – ∞, то f ′ (x 0) производная называется бесконечной.
Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования.
Таблица производных основных элементарных функций
1. (с)′=0 (с – постоянное число); 2. (хn)′=n xn-1;
3. (ех)′=ех; 4. (aх)′=aх lna;
5. (lnx)′=; 6. (loga x)′=;
7. (sinx)′=cosx; 8. (cosx)′=- sinx;
9. (tgx)′=; 10. (ctgx)′=-;
11. (arcsinx)′=; 12. (arccosx)′=-;
13. (arctgx)′=; 14. (arcctgx)′=-.
Покажем вычисление производных от функций с, sin x, cos x, ex, аx.
1) с ′ =0.
у=с, Δ у=с–с =0.
у ′ =.
2) (sin x) ′ =cos x.
y= sin x, Δ у= sin(x 0 +Δx) – sin(x 0),
у ′ =.
.
3) (cos x) ′ = –sin x.
|
|
|
y= cos x, Δ у= cos(x 0 +Δx) – cos(x 0),
у ′ =.
.
4) (ex) ′ = ex.
y= ex, Δ у=,
у ′ =
Воспользуемся эквивалентностью функции:
(при)
.
5) (аx) ′ = аx ln a.
y= аx, Δ у=,
у ′ =
Воспользуемся эквивалентностью функции:
(при)
.
Функция у=f (x), заданная в окрестности точки х 0 R называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение
∆ у = f (х 0+∆ х)– f (х 0), ∆ х = х – х 0,
представимо в этой окрестности в виде
∆ у = А ∆ х+ о(∆ х), ∆ х,
где А – постоянная.
Линейная функция А ∆ х (аргумента ∆ х) называется дифференциалом функции fв точке x 0 и обозначается df (х 0) или dy.
Таким образом,
∆ у = dy + о(∆ х), ∆ х,
dy = А ∆ х.
Для симметрии ∆ х обозначается через dх, то есть ∆ х = dх. Поэтому
dy = Аdх.
Причем из определения производной можно получить
f ′ (x 0)= А.
Тогда дифференциал dy функции у = f (х) в точке x 0 записывается в виде
dy = f ′ (x 0) dх,
а производная – в виде
f ′ (x 0)=.
Теорема 1: Функция дифференцируема в некоторой точке тогда и только тогда, когда она в этой точке имеет конечную производную.
Доказательство.
Пусть функция дифференцируема в точке x 0,
∆ у = А ∆ х+ о(∆ х), ∆ х
и - конечная.
f ′ (x 0)=.
И наоборот.
Пусть
f ′ (x 0)= = f ′ (x 0)+ g (Δ x)
Δ y = Δ x ∙(f ′ (x 0)+ g (Δ x)),
где при и доопределив в точке нулем, т.е. g (Δ x)=0, получим
g (Δ x)∙ Δ x =о(Δ x), ∆ х,
и, следовательно,
Δ y = Δ x ∙ f ′ (x 0)+ о(Δ x), ∆ х,
а это и есть условие дифференцируемости функции в точке x 0, причем f ′ (x 0)= А.
Теорема 2: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство.
По определению производной f ′ (x 0)=
|
|
|
По определению непрерывности функции в точке должно выполняться правило:
f ′ (x 0)∙0=0
Следовательно, функция непрерывна.
Геометрический смысл производной.
Пусть функция непрерывна в точке и некоторой её окрестности.
Уравнение прямой AB.
AB переходит в касательную к функции в точке, так как, то уравнение касательной имеет вид:
, где
Геометрический смысл производной – из наклона касательной, либо К.
Рассмотрим прямолинейное неравномерное движение материальной точки, задаваемой уравнением: S(путь), t(время)
, тогда (приращение пути)
приращение времени.
Физический смысл производной – изменение некоторой физической величины за момент времени зависящий от некоторой переменной, относительная и изменяемая этой переменной.
Свойства операции дифференцирования
1. (u(x)+v(x)-w(x))′=u′(x)+v′(x)-w′(x);
2. (u(x)·v(x))′= u′(x)·v(x)+ u(x)·v′(x);
3. (c· u(x)) ′ =c· u′(x);
4., v(x) ≠0.
1.
2.
3.
4.
доказано
Теорема об обратной функции:
Если - непрерывная монотонная функция, имеющая производную функцию в точке, то обратная функция имеет производную в точке, которая вычисляется по правилам?
Доказательство производных:
