Большие функции

Бесконечно малые и бесконечно

Доказательство.

Свойства предела функции в точке

Предел функции в точке

Пусть имеется числовое множество Е R. Точка а R называется предельной точкой множества Е, если для любой окрестности точки а существует пересечение ее проколотой окрестности с множеством Е:

: Ø.

Число называется пределом функции R в точке а, если

а) а – предельная точка множества Е;

б) для любой последовательности точек (x_n), имеющей своим пределом точку x ₀ (), последовательность (f (x_n)) значений функции в точках x_n, имеет своим пределом точку.

В этом случае пишут.

Данное определение эквивалентно высказываниям

>0 >0:

и:.

Свойство 1: Предел функции в точке единственен.

Пусть при, (не единственный предел) и β.

Пусть условия выполняются, но - последовательность, а у последовательности предел единственен, следовательно, предел функции также единственен. Чтд.

Свойство 2 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три функции R, а – предельная точка множества Е. Для всех точек выполняется неравенство

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),

причем.

Тогда.

Исходя из определения пределов

>0 ₁>0:,

₂>0:.

Тогда >0 ₃=min(₁, ₂):

Чтд.

Свойство 3: Если предел существует, то функция ограничена в некоторой окрестности точки а.

Необходимо показать, что >0:

выполняется условие:.

Пусть

По определению предела для ε=1 >0, что для

Окрестностью точки а является множество и для любой точки должно выполняться неравенство

Обозначим через М наибольшее из чисел М =max{| f(a) |,|α|+1}.

Рассмотрим 2 случая.

1) х= а

. Чтд.

Свойство 4: Пусть,. Тогда

а);

б);

в);

г) если, то.

Критерий Коши: Пусть функция R, а – предельная точка множества Е. Предел существует тогда и только тогда, когда

>0:.

Замечание: Элементарные функции обладают свойством

I замечательный предел:

Рассмотрим на координатной плоскости круг радиуса 1 с центром в начале координат (рис.13).

Через т.1 на оси х проведем касательную. Начало координат обозначим через точку О. Из рисунка видно, что выполняется неравенство:

=, т.к..

, т.к.

Следовательно, приходим к неравенству

Рис.13.

В силу непрерывности функций у= cos x и у =1 при х =0 имеют место равенства

По свойству двух милиционеров

Чтд.

Пусть функции f(x) и g(x) определены в проколотой окрестности точки а.

Будем говорить, что функция f(x) бесконечно мала относительно функции g(x), если

Обозначение: f(x) =о(g (x)) ().

Будем говорить, что функция f(x) есть О-большое от g(x), если найдется такая постоянная С>0, что для всех точек выполняется неравенство

Обозначение: f(x) =О(g (x)) ().

Функции f(x) и g(x) являются эквивалентными, если

Обозначение: f(x) ~ g (x) ().

Пример: Покажем эквивалентность функций

f(x)=x+ 1, ().

Решение.

f(x) ~ g (x) ().

Свойство: f(x) ~ g (x) () f(x) = g (x)+о(g (x)) ().

Функция у = называется бесконечно малой при, если =0.

Функция у = называется бесконечно большой при, если для любого числа М >0 существует такое число >0, зависящее только от М, что из неравенства следует неравенство (=).

Символическая запись определения:

у = – бесконечно большая М >0 (М)>0:.

Примеры:

1. α(х)=х,

бесконечно малая.

2. β(х)= бесконечно большая.

Теорема: Функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот.

Доказательство. Пусть является бесконечно малой при, то есть =0. Тогда

>0 >0:.

Следовательно в той же -окрестности точки а будет выполняться неравенство:

Если в качестве М возьмем, то для функции выполняется определение бесконечно большой функции.

Примеры: