Наибольшее и наименьшее значение функции

Условия монотонности функции.

Производная неявной функции.

Правило Лопиталя.

Производная высших порядков.

Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала.

Основные теоремы дифференциального счисления.

Производная параметрической функции.

Уравнение касательной и нормали.

Производная сложной функции.

Теорема: функция дифференцируема (имеет производную) в т., функция дифференцируема в точке, причем z′(x)= g_y′ ·f ′_x (или).

Доказательство.

z ′ =

(т.к. функция дифференцируема она непрерывна)

= g_y′ ·f ′_x.

Производная показательно – степенной функции (логарифмическое дифференцирование)

Возьмем производную от обеих частей равенства:

Пример:

- параметр.

Пример:

Теорема Ферма:

Пусть функция, или

Доказательство. Рассмотрим случай, когда М- точка максимума функции:

Предположим, что, тогда при х либо больше, либо меньше нуля.

По определению предела

Геометрическое истолкование теоремы следует из геометрического смысла производной, т.е. касательная к графику функции в т.м с абсциссой с, параллельно оси оХ.

Теорема Ролля:

Пусть функция,

Доказательство. Из условия по свойству непрерывных функций от отсюда следует, что

Следовательно, имеет 2 варианта:

1. Когда, при

2., т.к.. Пусть, тогда по теореме Ферма.

Теорема имеет такое же геометрическое истолкование как и теорема Ферма.

Теорема доказана.

При

Пример:

Пусть функция, существует,, если дифференцируема в точке а, то говорят, что существует вторая производная от функции в точке а.

Если дифференцируема на всем множестве Е, то существует

Производная от называется - ой производной от и обозначается.

Формула Лейбница:

Пример:

Пусть и - непрерывные дифференцируемые функции.

1., причем

2., причем

Если существует, то существует

Доказательство.

Рассмотрим. Выполняется формулой Лагранжа

,

тогда

Тогда

Примеры:

1..

2.

2)

Теорема: Для того, что бы непрерывная на некотором промежутке функция дифференцируемая во всех его точках, возрастала(убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно чтобы производная этой функции

	строго возрастает
	возрастает
	константа
	строго убывает
	убывает

если, тогда при.

Следовательно функция - возрастающая.

- строго возрастает:

1. предел

2.

Пример:

(строго возрастающая функция)

3. функция постоянная.

4,5. Доказательство аналогично.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, тогда точку называют точкой максимума (минимума) функции,если некоторое число, что выполняется неравенство:.

В том случае, если неравенство строгое, то такие точки называют строгим максимумом и строгим минимумом.