2014-02-09
715
Точки разрыва
Точка х 0 называется точкой разрыва функции у = f (х), если функция не является непрерывной в точке х 0.
Введем определения односторонних пределов.
Предел, при х < х 0, называется левосторонним пределом и обозначается (рис. 16а).
Предел, при х > х 0, называется правосторонним пределом и обозначается (рис. 16б).
| x 0 |
| х<x0 |
| x |
| x 0 |
| х>x0 |
| x |
Рис.16а Рис.16б
Очевидно, что условие эквивалентно условию = =.
Классификация точек разрыва:
1) точка х 0 – устранимая точка разрыва, и они конечны, =, но не существует;
2) точка х 0 – точка разрыва 1-го рода, и они конечны, но;
3) точка х 0 – точка разрыва 2-го рода: все остальные точки разрыва.
на отрезке [ a, b ]
Свойство 1: Пусть функция f: [ a, b ] R непрерывна, то она достигает на [ a, b ] своих наибольшего М и наименьшего m значений (рис.17).
| y=f (x) |
| x |
| b |
| M |
| m |
| O |
| у |
| а |
Рис. 17
Доказательство. (см. доказательство свойства 2).
Свойство 2: Пусть функция f: [ a, b ] R непрерывна, то она ограничена.
Доказательство.
|
|
|
Пусть функция непрерывна на и. Покажем, что М <+∞.
Пусть, такая, что.
Возьмем возрастающую последовательность (), где, такую, что
, an<M.
Согласно определению верхней грани для каждого найдется такое, что f (xn)> an,.
С другой стороны, поскольку М – верхняя грань функции f, то для любого [ a, b ], выполняется неравенство, в частности
,.
Следовательно,
,..
Последовательность (xn) ограничена:
,,
следовательно по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность. Обозначим ее предел через х 0
.
Поскольку, то и
.
Причем является подпоследовательностью последовательности и потому
И по свойству двух милиционеров
.
Но функция f непрерывна на отрезке, в частности в точке х 0, следовательно
,
то есть доказано, что верхняя грань М функции совпадает со значением функции в точке, и следовательно конечна. Тем самым функция ограничена сверху, её верхняя грань достигается в точке.
| y=f (x) |
| x |
| а |
| b |
| O |
| у |
| f(b) |
| с |
| f(a) |
Свойство 3(Первая теорема Больцано-Коши): Если функция f: [ a, b ] R непрерывна и на концах [ a, b ] принимает значения разных знаков f (a) ∙ f (b)<0, то точка [ a, b ], в которой f (с)=0.
Доказательство.
Доказательство следует из свойства 4 (=0). Рис. 18
| y=f (x) |
| x |
| а |
| b |
| μ |
| O |
| у |
| А |
| В |
| с |
Доказательство.
Пусть f (a)=A и f (b)=B. Разделим отрезок точкой (рис.19). Если, значит с= – искомая точка. Если, тогда на одном из полученных отрезков [ а, х 0] или [ х 0, b ] функция принимает значения, лежащие по разные стороны Рис.19
|
|
|
| y=f (x) |
| x |
| а |
| b |
| μ |
| O |
| у |
| А |
| В |
| с |
| х0 |
| х1 |
f (a 1)<μ< f (b 1).
Полученный отрезок опять разделяем точкой х 1. Если, значит с= х 1 – искомая точка. Если, тогда на одном из полученных отрезков [ а 1, х 1] или [ х 1, b 1] функция принимает значения лежащие, Рис.20
по разные стороны от числа μ. Обозначим данный отрезок [ а 2, b 2], причем
f (a 2)<μ< f (b 2).
И так продолжаем действовать. В результате получаем последовательность вложенных отрезков [ а n, b n]: f (a n)<μ< f (b n), причем по лемме вложенных отрезков некоторая точка всем отрезкам [ а n, b n]:. Но так как точка с лежит в промежутке [ а n, b n], то ξ=c. В силу непрерывности функции, но так как μ лежит между и f (b n), то.
Чтд.
