Дифференцирование сложных функций и функций заданных неявно

Если в функции аргументы и в свою очередь являются функциями аргумента , то по отношению к переменной функцию называют сложной. Производная такой функции находится по правилу

.

В функции аргументы могут быть также функциями двух переменных и . По отношению к переменным и функцию опять же называют сложной. Частные производные такой сложной функции находятся по правилам аналогичным доказанному выше

,

.

Пример 5.1.

Найти частную производную функции , если , .

Применяя известное правило, запишем

.

При неявном задании функции одной переменной ее определяют из уравнения .

Не разрешая данное уравнение относительно , производную данной функции можно определить по правилу

.

Уравнение неявно определяет функцию двух переменных . Ее частные производные находятся по аналогичным формулам:

, .

Пример 5.2.

Найти функции, заданной неявно уравнением .

По правилу, указанному выше, имеем

.