Наибольшее и наименьшее значения функции в области

Дифференцируемая в ограниченной замкнутой области функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений, либо в стационарной точке, лежащей внутри области , либо на границе этой области.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений:

Найти все критические точки функции , лежащие внутри области .

Исследовать поведение функции на границе области .

Вычислить значения функции во всех найденных точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 7.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями:

.

1) находим стационарную точку, лежащую в области:

→ → .

2) исследуем данную функцию на границе области.

a) При функция z имеет выражение:

.

Критические точки на границе находим из уравнения:

. Отсюда .

b) При для функции z имеем выражение:

.

Критические точки на границе находим из уравнения: . Отсюда .

c) При для функции z имеем выражение:

.

Критические точки на границе находим из уравнения: . Отсюда .

вычисляем значения в критических точках , а также в точках , :

,,,,, ,.

Итак, наибольшее значение: ,; наименьшее значение: .