Необходимое и достаточное условие экстремума

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Пример 6.1. Исследовать функцию на экстремум.

Находим частные производные первого порядка и приравниваем их к нулю:

Стационарная точка данной функции имеет координаты .

Вычислим вторые производные .

Следовательно, .

Экстремум имеется, т.к. , то в точке - минимум, .

Пример 6.2. Исследовать функцию на экстремум.

Находим частные производные и приравниваем их к нулю

Стационарная точка данной функции имеет координаты .

Вычислим вторые производные: .

Следовательно, .

Экстремум отсутствует, т.к. .