double arrow

Предел и непрерывность

1.

Определение. Пусть имеется n переменныx величин, и каждому набору иx значений (x1, x2,…, xn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныx

z = f(x1,…, xn).

Переменные x1,…, xn называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n -мерного пространства.

Определение. Число А называется пределом функции z = f(x, у) при хх0 и уу0 (или в точке (х0, у0)), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε > 0, найдётся положительное число δ > 0 (зависящее от ε; δ = δ(ε) ), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние p меньше, чем δ1 (т.е. при 0 < p < δ), выполняется неравенство

| f(x; у) - A | < ε .

Обозначается предел так:

.

Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное число z Î Z Ì R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде

z = f(x, y), z = z(x, y),
z = F(x, y)
и т.д. Например, объем цилиндра V = pR2Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f(R, Н), которая дает возможность, зная значения независимых переменных R и Н, установить соответствующее значение для V.

В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба-Дугласа , где z - величина общественного продукта, x - затраты труда, y - объем производственных фондов (обычно z и y измеряются в стоимостных единицах, x - в человеко-часах); A, a, b - постоянные. Функция Кобба-Дугласа является функцией двух независимых переменных: z = f(x, y). Частное значение функции z = f(x, y) при x = xo, y=yo обозначается zo= f(xo, yo). Геометрически область определения функции D представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D, во втором случае - открытой. Наподобие того, как функция y = f(x) геометрически иллюстрируется своим графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y). Возьмем в пространстве R 3 прямоугольную систему координат и изобразим на плоскости Oxy область D. В каждой точке M(x, y)ÎD восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy и отложим на нем значение z = f(x, y). Геометрическое место полученных таким образом точек и явится своего рода пространственным графиком нашей функции. Это будет, вообще говоря, некоторая поверхность, поэтому уравнение z = f(x, y) называется уравнением поверхности. Пара значений x и y определяет на плоскости Oxy точку M(x, y), а z = f(x, y) - аппликату соответствующей точки P(x, y, z) на поверхности. Поэтому говорят, что z есть функция точки M(x, y) и пишут z = f(M).

Функция f(M) имеет предел A, , если разность f(M) - A есть бесконечно малая, когда r = MoM ® 0 при любом способе приближения M к Mo (например, по любой линии).

Функция f(x, y) называется непрерывной в точке Mo, если .

В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b) фондов, R = П/(a+b), т.е. R является функцией трех независимых переменных R = f(П, a, b). Областью определения функции трех переменных является множество точек пространства R 3, но непосредственной геометрической интерпретации для функций с числом аргументов больше двух не существует, однако для них вводятся по аналогии все определения (частные производные, предел, непрерывность и т.д.), сформулированнные для f(x,y).

Аналогично определяется функция n независимых переменных
z = f(x1, x2,..., xn).

Областью определения такой функции будет множество D Ì R n. Примером функций многих переменных в экономике являются производственные функции. При рассмотрении любого производственного комплекса как открытой системы (входами которой служат затраты ресурсов - людских и материальных, а выходами - продукция) производственная функция выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами. Производственная функция обычно задается уравнением z = f(x1, x2,..., xn), где все компоненты выпуска объединены (по стоимости или в натуре) в одну скалярную величину z, а разнородные производственные ресурсы обозначены как xi .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: