2014-02-17
480
Аффинная классификация поверхностей второго порядка
Аффинная классификация кривых второго порядка.
Теорема 5.5. Любая кривая второго порядка аффинно эквивалентна одной из 9 кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые аффинно не эквивалентны между собой.
| Название кривой | Каноническое уравнение кривой | Расширенная матрица | rgA | S (A) | 
| 
|
| Эллипс | 
| diag(1,1,-1) | ||||
| Мнимый эллипс | 
| diag(1, 1, 1) | ||||
| Гипербола | 
| diag(–1, 1, –1) | ||||
| Пара пересекающихся мнимых прямых | 
| diag(0, 1, 1) | ||||
| Пара пересекающихся прямых |  , 
| diag(0, 1, –1) | ||||
| Парабола | 
| 
| ||||
| Пара параллельных прямых | 
| diag(–1, 1, 0) | ||||
| Пара параллельных мнимых прямых | 
| diag(1, 1, 0) | ||||
| Пара совпавших параллельных прямых | 
| diag(0, 1, 0) |
Доказательство. Любую кривую 2-го порядка в соответствующих аффинных координатах можно описать одним из перечисленных канонических уравнений. Действительно, 
и rgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: 
или 
. Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матриц A.
Теорема 5.6. Любая поверхность второго порядка аффинно эквивалентна одной из 17 поверхностей, приведенных в таблице. Приведенные поверхности аффинно не эквивалентны между собой.
| Название поверхности | Каноническое уравнение поверхности | Расширенная матрица | rgA | S (A) |
|
|
| Поверхности вращения | ||||||
| Эллипсоид | 
| diag(–1, 1, 1, 1) | ||||
| Мнимый эллипсоид | 
| diag(1, 1, 1,1) | ||||
| Однополостный гиперболоид | 
| diag(–1, 1, 1, –1) | ||||
| Двуполостный гиперболоид | 
| diag(1, 1, 1, –1) | ||||
| Мнимый конус | 
| diag(0, 1, 1, 1) | ||||
| Конус | 
| diag(0, 1, 1, –1) | ||||
| Эллиптический параболоид | 
| 
| ||||
| Цилиндрические поверхности | ||||||
| Эллиптический цилиндр |
| diag(1,1,-1) | ||||
| Мнимый эллиптический цилиндр |
| diag(1, 1, 1) | ||||
| гиперболический цилиндр |
| diag(–1, 1, –1) | ||||
| Пара пересекающихся мнимых плоскостей |
| diag(0, 1, 1) | ||||
| Пара пересекающихся плоскостей | ,
| diag(0, 1, –1) | ||||
| Параболический цилиндр |
|
| ||||
| Пара параллельных плоскостей |
| diag(–1, 1, 0) | ||||
| Пара параллельных мнимых плоскостей |
| diag(1, 1, 0) | ||||
| Пара совпавших плоскостей |
| diag(0, 1, 0) | ||||
| Гиперболический параболоид (седло) | 
| 
|
