Аффинная классификация поверхностей второго порядка
Аффинная классификация кривых второго порядка.
Теорема 5.5. Любая кривая второго порядка аффинно эквивалентна одной из 9 кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые аффинно не эквивалентны между собой.
Название кривой | Каноническое уравнение кривой | Расширенная матрица | rgA | S (A) | ||
Эллипс | diag(1,1,-1) | |||||
Мнимый эллипс | diag(1, 1, 1) | |||||
Гипербола | diag(–1, 1, –1) | |||||
Пара пересекающихся мнимых прямых | diag(0, 1, 1) | |||||
Пара пересекающихся прямых | , | diag(0, 1, –1) | ||||
Парабола | ||||||
Пара параллельных прямых | diag(–1, 1, 0) | |||||
Пара параллельных мнимых прямых | diag(1, 1, 0) | |||||
Пара совпавших параллельных прямых | diag(0, 1, 0) |
Доказательство. Любую кривую 2-го порядка в соответствующих аффинных координатах можно описать одним из перечисленных канонических уравнений. Действительно, и rgA может принимать лишь два значения 1 или 2, поэтому матрица A может иметь один из следующих трёх видов: или . Очевидно, приведённая таблица исчерпывает все возможные варианты расширенных матриц, соответствующих каждой из трёх матриц A.
|
|
Теорема 5.6. Любая поверхность второго порядка аффинно эквивалентна одной из 17 поверхностей, приведенных в таблице. Приведенные поверхности аффинно не эквивалентны между собой.
Название поверхности | Каноническое уравнение поверхности | Расширенная матрица | rgA | S (A) | ||
Поверхности вращения | ||||||
Эллипсоид | diag(–1, 1, 1, 1) | |||||
Мнимый эллипсоид | diag(1, 1, 1,1) | |||||
Однополостный гиперболоид | diag(–1, 1, 1, –1) | |||||
Двуполостный гиперболоид | diag(1, 1, 1, –1) | |||||
Мнимый конус | diag(0, 1, 1, 1) | |||||
Конус | diag(0, 1, 1, –1) | |||||
Эллиптический параболоид | ||||||
Цилиндрические поверхности | ||||||
Эллиптический цилиндр | diag(1,1,-1) | |||||
Мнимый эллиптический цилиндр | diag(1, 1, 1) | |||||
гиперболический цилиндр | diag(–1, 1, –1) | |||||
Пара пересекающихся мнимых плоскостей | diag(0, 1, 1) | |||||
Пара пересекающихся плоскостей | , | diag(0, 1, –1) | ||||
Параболический цилиндр | ||||||
Пара параллельных плоскостей | diag(–1, 1, 0) | |||||
Пара параллельных мнимых плоскостей | diag(1, 1, 0) | |||||
Пара совпавших плоскостей | diag(0, 1, 0) | |||||
Гиперболический параболоид (седло) |