Аннулирующий многочлен вектора

Рассмотрим наименьшее (по включению) инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Очевидно, что с вектором x в нем содержится и векторы , где k =1,2,…. Обозначим через k наибольшее число, при котором система векторов линейно независима. Очевидно, что линейная оболочка этих векторов образует наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Выразим . Это равенство запишем в виде , где - тождественное преобразование. Слева стоит линейное преобразование, по виду являющееся многочленом от линейного преобразования . Будем говорить, что многочлен p (t) аннулирует вектор x, если . Многочлен наименьшей степени, аннулирующий вектор x, называется минимальным аннулирующим многочленом вектора x.

Минимальный аннулирующий многочлен определен с точностью до числового множителя. Далее, для определенности будем считать коэффициент при старшей степени равным 1.

Свойство 10.1 Аннулирующий многочлен вектора делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен вектора.

Доказательство. Пусть f (t) –аннулирующий многочлен, а p (t) – минимальный аннулирующий многочлен. Разделим f (t) на p (t) с остатком f (t)= p (t) g (t)+ r (t). Тогда . Так как степень r (t) меньше степени p (t), и многочлен r (t) аннулирует вектор x, то единственная возможность r (t)=0.

Теорема 10.1 (Метод и академика Крылова). Пусть векторы линейно независимы и , тогда многочлен является минимальным аннулирующим многочленом вектора x.

Доказательство. Очевидно, что многочлен является аннулирующим для вектора x. Допустим, он не является минимальным аннулирующим многочленом. Следовательно, найдется аннулирующий многочлен меньшей степени , что . Последнее равенство не возможно в силу линейной независимости системы векторов .

Теорема 10.2 Минимальный аннулирующий многочлен вектора является делителем характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно независима и . Дополним систему векторов до базиса всего пространства и найдем матрицу линейного преобразования в этом базисе. Эта матрица имеет блочный вид , где - блок порядка k +1. По теореме Лапласа , а - минимальный аннулирующий многочлен вектора x.