2014-02-17
442
Симметричные матрицы A и F назовем конгруэнтными, если найдется невырожденная матрица P, что 
. Матрицы билинейной формы в различных базисах конгруэнтны. Из теоремы Лагранжа вытекает, что симметричная квадратная матрица конгруэнтна диагональной матрице diag (1,…,1.-1,…,-1,0,…,0). Опишем алгоритм приведения симметричной квадратной матрицы F к диагональному виду элементарными преобразованиями. Отметим, если мы совершаем какие то действия со строками матрицы F, то те же самые действия надо совершить и со столбцами матрицы. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.
- Положим r =1.
- Если
, то перейдем на шаг 4, иначе шаг 3. - Положим
, 
, где 
. Затем увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2. - Если найдется i, что
, то положим 
, 
и вернемся на шаг 2. В противном случае перейдем на шаг 5. - Если для всех i,j > r справедливо неравенство
, то алгоритм работу закончил. В противном случае найдутся номера i,j, для которых 
. Тогда переставим строки 
и столбцы 
и вернемся на шаг 2.
Легко проверить, что предложенный алгоритм построит диагональную матрицу конгруэнтную исходной матрице. Преобразованиями вида 
, 
можно добиться, чтобы на главной диагонали стояли только 0,1,-1. Перестановками строк и столбцов элементы матрицы, стоящие по главной диагонали, можно расположить в порядке не возрастания.
|
|
|
Если приписать справа единичную матрицу, то элементарные преобразования можно запомнить в ней.
