Пример 5. Рабочий изготавливает 600 деталей за дневную смену и 410 деталей в ночную смену

Пример 4.

Рабочий изготавливает 600 деталей за дневную смену и 410 деталей в ночную смену. Продолжительность дневной смены 8 часов, а ночной 6 часов. Требуется определить среднюю выработку работника за смену.

Для расчета следует воспользоваться средней гармонической:

Требуется на основании данных отчетности об остатках товарно-материальных запасов определить средний объем товарно-материальных запасов за период.

	01.01.02.	01.04.02	01.07.02.	01.10.02	01.01.03.
Товарно-материальные запасы (тыс.руб)

Для расчета среднего объема товарно-материальных запасов в данном случае целесообразно применить формулу средней хронологической:

Кроме рассмотренных выше различных видов средних величин для анализа рядов распределения, рассчитываются еще так называемые структурные средние величины: мода и медиана, которые характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном ряду. Медиана (Ме) соответствует варианту, занимающего середину ранжированного ряда.

Расположение медианы определяется ее номером (Nме), который рассчитывается по формуле:

Медианная строка в вариационной таблице определяется по накопленной частоте Si, численная величина которой должна быть равна или на немного больше медианы.

Численное значение самой медианы определяется по формуле:

х_ме – нижнее значение медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

S_ме-1 – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу

fме – частота (частость, вес) медианного интервала.

Модой ( Мо) называют часто встречающееся значение признака у исследуемых единиц совокупности. Мода в вариационном ряду с равными интервалами определяется по формуле:

Для характеристики экономических показателей в совокупности можно рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака. R = Xmax-Xmin.

Среднее линейное отклонение (d) - отражает все колебания варьирующего признака, дающий обобщенную ее характеристику

Дисперсия (σ²) и среднее квадратическое отклонение (σ) - являются общепринятым мерами вариации и часто используются в экономических исследованиях.

σ²

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности

Среднее квартильное расстояние (Q) - используется для характеристики вариации в центральной ее части.

Для вычисления совокупность делят на четыре части. Эти четыре части называют квартилями и обозначают (Q) с подписным значком номера.

или

, где

X_Q_1,X_Q_2, X_Q₃- значения верхней границы интарвала для каждой строки

S- накопленная частота

S_-1- накопленная частота предыдущей строки

Для целей сравнения колеблемости различных признаков представляют интерес относительные показатели вариации. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем вариации, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если коэффициент вариации больше 33 %, то это говорит о неравномерности распределения признака в изучаемой совокупности.

Коэффициент квартильного отклонения- показывает колеблемость внутри квартилей.

% или %

Основная задача анализа вариационных рядов- выявление закономерностей распределения. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а так же вычисление показателей ассиметрии и эксцесса.

При нормальном распределении: с редняя величина совокупности равна моде и медиане. Для распределения выполняется «правило трех сигм.

Мо=Ме=х

-3s х +3s

Рис. 1 Графическое изображение «нормального» распределения

Для характеристики распределения определяются показатели асимметрии. Для того, чтобы выявить асимметрию распределения крайних значений совокупности рассчитывают показатель, основанный на моменте третьего порядка.

Для характеристики асимметрии в центре совокупности используют показатель Пирсона:

Если в результате расчетов показатель будет больше нуля, то асимметрия правосторонняя, если отрицательная величина, то левосторонняя.

левосторонняя правосторонняя

нормальное распределение

Рис. 2 Графическое изображение асимметрии.

В статистических расчетах принято считать: если коэффициент асимметрии более 0,5, то асимметрия существенна, а если меньше 0,25, то несущественна. Другим показателем характеризующим распределение является эксцесс – выпадение вершины эмпирического распределения вверх и вниз от вершины нормального распределения, рассчитывается с помощью момента четвертого порядка

При нормальном распределении Ех = 0. Если величина показателя эксцесса положительна, то распределение островершинное, если отрицательна - распределение плосковершинное.

островершинное