2014-02-18
674
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
anbn®бесконечно малое Þ an+bn – бесконечно малое.
Доказательство.
Дано:
an- бесконечно малое Û "ε>0 $ N1:"n>N1 Þ |an|<ε
bn- бесконечно малое Û "ε>0 $ N2:"n>N2 Þ |bn|<ε
Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N Þ одновременно выполняется оба неравенства:
|an|<ε |an+bn|£|an|+|bn|<ε+ε=2ε=ε1"n>N
|bn|<ε
Зададим "ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 $N=maxN1N2: " n>N Þ |an+bn|<ε1 Û lim(an+bn)=0, то
n®¥
есть an+bn – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.
an,bn – бесконечно малое Þ anbn – бесконечно малое.
Докозательство:
Зададим "ε1>0, положим ε=Öε1, так как an и bn – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1: " n>N Þ |an|<ε
$N2: " n>N2 Þ |bn|<ε
Возьмем N=max {N1;N2}, тогда "n>N = |an|<ε
|bn|<ε
|anbn|=|an||bn|<ε2=ε1
" ε1>0 $N:"n>N |anbn|<ε2=ε1
lim anbn=0 Û anbn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.
n®¥
|
|
|
Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность
аn – ограниченная последовательность
an –бесконечно малая последовательность Þ anan – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как аn – ограниченная Û $С>0: "nÎ N Þ |an|£C
Зададим "ε1>0; положим ε=ε1/C; так как an – бесконечно малая, то ε>0 $N:"n>NÞ |an|<εÞ |anan|=|an||an|<Cε=C·ε1/C=ε1
"ε1>0 $N: "n>N Þ |anan|=Cε=ε1 Þ lim anan=0Û anan – бесконечно малое
n®¥
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const Þ произведение постоянно.
Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim an=a Û an=a+an
n®+¥
Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+an
где an – бесконечно малая.
Доказательство:
lim an Û " ε>0 $N:"n>N Þ |an-a|<ε. Положим an-a=an Þ |an|<ε, "n>N, то есть an - бесконечно малая
n®+¥
an=a+an что и требовалось доказать
Доказательство (обратное): пусть an=a+an, an – бесконечно малая, то есть an=an-a Û "ε>0 $N: "n>N Þ
Þ|an|=|an-a|<ε, то есть lim an-а
n®+¥
