Монотонные последовательности

1) возрастающая a_n<a_n+1, " nÎN

2) убывающая a_n>a_n+1, " nÎN

3) не возрастающая a_n³a_n+1, " nÎN

4) не убывающая a_n£a_n+1, " nÎN

Пределы последовательности.

Определение: числа а, называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел n³N выполняется модуль разности |a_n-a|<ε Û " ε>0 $ N: " n³N Þ|a_n-a|<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim a_n=0

^n®¥

Примеры: Доказать, что ln(-1)²/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы |(-1)ⁿ-0|<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε Þ n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|a_n|<0.01, если n³101

* * *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n®+¥

Для любого ε>0 |(1-1/n²)-1|<ε

|-1/n²|<ε Þ 1/n²<ε Þ n²>1/ε Þ n>1/Öε

N=[1/Öε]+1