Теоремы о пределах числовых последовательностей

1) Теорема о пределе суммы:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b Þ lim a_n+b_n=a+b

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Докозательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n Сложим a_n+b_n=a+b+a_n+b_n=a+b+j_n Ûlim a_n+b_n=a+b

^n®+¥

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b Þ lim a_nb_n=ab

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Доказательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n Þ a_nb_n=(a+a_n)(b+b_n) a_nb_n=ab+ab_n+ba_n+a_nb_n=ab+j_n lim a_nb_n=ab что и

^n®+¥

требовалось доказать.

2) Теорема о пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b¹0 lim a_n/b_n=a/b

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Доказательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n так как b¹0, то $N₁: "n>N₁Þb_n¹0

_bn

₀^{| (////////}_b^·/////////) x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+a_n)-a(b+b_n)]/b(b+b_n)=a/b+j_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n®+¥