Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Бесконечно большие последовательности. Тема: Бесконечно большие последовательности




Тема: Бесконечно большие последовательности .

Лекция №4

аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

an=2n

$N:"n>N Þ an

bn=(-1)n2n

$N:"n>N Þ |bn|>ε

cn=-2n

$N:"n>N Þcn<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ an>ε где ε- сколь угодно малое.

n®¥

2)lim an=-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ an<-ε

n®+¥

3) lim an=¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |an|>ε

n®+¥

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём "ε>0; хотим 2n

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки " и $, а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a<¥ $aÎR "ε>0 $NÎN:"n>N Þ |an-a|<ε

n®¥

Обратное утверждение "aÎR $ε>0 "NÎN:$ n>N Þ |an-a|<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть $lim an=a<¥ Þ an - ограниченная

n®+¥

Доказательство:

Дано:

"ε>0$N:"n>N Þ |an-a|<ε

Раз "ε>0 возьмем ε=1 Þ $N:"n>N Þ |an-a|<1

a-1<an<1+a, "n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N1=max{|a1|;|a2|;…|an|;|1+a|;|a-1|}

an£c, "n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если $lim an=a <¥, то а- единственное.

n®+¥

Доказательство:(от противного)

Предположим, что $ b: lim an=b и b¹a ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a Þ$N1:"n>N1Þ |an-a|<ε

n®+¥

$N2:"n>N2 Þ |an-b|<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно Þ

Þ -(b-a)/2<an-a<(b-a)/2

-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2

an-a<(b-a)/2

-

an-b>-(b-a)/2

b-a<b-a

0<0 – противоречие Þ предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2








Дата добавления: 2014-02-18; просмотров: 352; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10065 - | 7739 - или читать все...

Читайте также:

  1. XX века. ТЕМА: Мир детства в произведениях русских и зарубежных писателей
  2. А. Критерий Коши для последовательности
  3. Алгоритм выбора количества и последовательности переходов в операции
  4. Алфавит, буквы, слова. Операции над словами. запись слов на бесконечной ленте
  5. Архитектура. Древние небольшие каменные молельни превращались в грандиозные храмы по мере расширения Египта, для поддержки зданий использовали колонны и пилястры
  6. Асимптоты. Тема: Асимптоты. Полное исследование функции
  7. Асимптоты. Частой является ситуация, когда график функции бесконечно близко подходит к некоторой фиксированной прямой
  8. Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот
  9. Базы данных. Тема: Базы данных. Системы управления базами данных
  10. Бесконечно большие величины
  11. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
  12. Бесконечно большие и бесконечно малые функции


 

54.211.135.32 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.002 сек.