double arrow
Бесконечно большие последовательности. Тема: Бесконечно большие последовательности

Тема: Бесконечно большие последовательности .

Лекция №4

аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

an=2n

$N:"n>N Þ an

bn=(-1)n2n

$N:"n>N Þ |bn|>ε

cn=-2n

$N:"n>N Þcn<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ an>ε где ε- сколь угодно малое.

n®¥

2)lim an=-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ an<-ε

n®+¥

3) lim an=¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |an|>ε

n®+¥

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём "ε>0; хотим 2n

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки " и $, а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a<¥ $aÎR "ε>0 $NÎN:"n>N Þ |an-a|<ε

n®¥

Обратное утверждение "aÎR $ε>0 "NÎN:$ n>N Þ |an-a|<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть $lim an=a<¥ Þ an - ограниченная

n®+¥

Доказательство:

Дано:

"ε>0$N:"n>N Þ |an-a|<ε

Раз "ε>0 возьмем ε=1 Þ $N:"n>N Þ |an-a|<1

a-1<an<1+a, "n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.




N1=max{|a1|;|a2|;…|an|;|1+a|;|a-1|}

an£c, "n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если $lim an=a <¥, то а- единственное.

n®+¥

Доказательство:(от противного)

Предположим, что $ b: lim an=b и b¹a ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a Þ$N1:"n>N1Þ |an-a|<ε

n®+¥

$N2:"n>N2 Þ |an-b|<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно Þ

Þ -(b-a)/2<an-a<(b-a)/2

-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2

an-a<(b-a)/2

-

an-b>-(b-a)/2

b-a<b-a

0<0 – противоречие Þ предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2






Сейчас читают про: