Первый замечательные пределы

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x®0

Доказательство:

S_∆OMN=1/2 sin(x)

S_секOMN=1/2(x)

S_∆OKN=1/2 tg(x)

S_∆OMN<S_секOMN< S_∆OKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

^n®+¥

lim (1-cos(x))=0 Þ lim (cos(x))=1

^{x®0 x®0}

lim (x/sin(x))=0

^x®0

x>0

lim (x/sin(x))=1

^x®0

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^{x®0 x®0}

Определение бесконечного предела и пределов при х®+¥.

lim (f (x))=+¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(+¥)

^x®x_°

"(x): 0<|x-x₀|<d

(////////// x

ε

lim (f (x))=-¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(-¥)

^x®x_°

"(x): 0<|x-x₀|<d

lim (f (x))=¥ Û "ε>0 $d>0: " xÎO°_d(x₀)Þf(x)ÎO_ε(¥)

^x®x_°

|f(x)|>ε

lim (f (x))=b Û "ε>0 $∆>0: " xÎO_∆(+¥)Þf(x)ÎO_ε(b)

^x®+¥

" x: x>∆ |f(x)-b |<ε

lim (f (x))=b Û "ε>0 $∆>0: " xÎO_∆(-¥)Þf(x)ÎO_ε(b)

^x®-¥

" x: x<-∆ |f(x)-b |<ε

Односторонние пределы.