Теорема. Тема: Замечательные пределы

Тема: Замечательные пределы

Лекция №6

f(x)>g(x) в O°(x₀) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g(x))=c. Тогда b³c

^x®x_° ^x®x_°

Доказательство:

Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-g(x)>0 в O°(x₀) Þ lim (g(x))= lim (f(x)) - lim (g(x))= b-c и в силу предыдущей

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

теоремы b-c³0, то есть b³0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)£g(x)£g(x) " xÎO°(x₀) и $ lim (f(x))=b и $ lim (g (x))=b. Þ lim (g (x))=b

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Доказательство:

f(x)=b+a(x)

g(x)=b+b(x)

где a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х₀

b+a(x)£g(x)£b+b(x)

Так как a(х) и b(х) – бесконечно малые то "ε>0 $d₁>0: " xÎO°_d1(x₀) Þ |a(x)|<ε

$d₂>0: " xÎO°_d2(x₀) Þ |b(x)|<ε

Положим d=min{d₁;d₂}

Тогда " xÎO°_d(x₀) Þ |a(x)|<ε

|b(x)|<ε

-ε<a(x)<ε

-ε<b(x)<ε

b-ε<b+a(x)£g(x)£b+b(x)<b+ε

-ε<g(x)-b<ε

|g(x)-b|<ε " xÎO°_d(x₀)

" ε>0 $ d=min{d₁;d₂} Þ |g(x)-b|<ε "xÎO°_d(x₀) то есть lim (g (x))=b

^x®x_°