I. Свойство линейности.
Если имеется некоторая совокупность сигналов причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:
(2.11)
Здесь - произвольные числовые коэффициенты.
II. Теорема о сдвигах.
Предположим, что для сигнала известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,
Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотой зависимости аргумента от его спектральной плотности (фазовом спектре).
III. Теорема масштабов.
Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то:
|
|
Произведём замену переменной , тогда , откуда следует:
(2.13)
При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.
Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
IV. Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.
Пусть сигнал и его спектральная плоскость заданы. Будем изучать новый сигнал и поставим цель найти его спектральную плотность .
По определению:
(2.14)
Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.14) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:
(2.15)
Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.15) и ограничиваясь первыми двумя числами, находим
(2.16)
Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.
Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции. Интеграл это есть, значит - его спектральная плотность, а из формулы (2.16) равна:
(2.17)
Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.
V. Теорема о свёртке.
Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.
|
|
Пусть и - два сигнала, для которых известны соответствия ,.Образуем произведение этих сигналов: и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу:
(2.18)
Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):
Изменив порядок интегрирования, будем иметь:
откуда:
(2.19)
Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как *
Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:
(2.20)
Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:
Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём
и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частной, а во временной области:
(2.21)
VI. Теорема Планшереля
Пусть два сигнала и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:
;
.
Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:
Здесь внутренний интеграл представляет собой спектральную плотность сигнала поэтому:
(2.22)
Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.