Спектральные представления сигналов с использованием негармонических функций

Для представления непрерывных сигналов используются различные системы ортогональных функций.

I. Для представления непрерывных сигналов используются преимущественно ортогональные функции и полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита.

1) Полиномы Лежандра (1-го рода) определяются формулой:

,

Ряд выглядит следующим образом:

,

Спектральные коэффициенты определяются формулой:

,

2) Полиномы Чебышева (1-го рода) определяются формулой:

Ряд:

- коэффициенты ряда

График полинома Чебышева 4-го порядка:

Полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку аппроксимации на интервале . Эффективны для аппроксимации АЧХ различных фильтров.

3) Полиномы Лагерра определяются формулой

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при функций, то удобнее пользоваться функциями Лагерра

Разложение в ряд по функциям Лагерра

коэффициенты должны определяться по формуле:

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что объясняется простотой их генерирования.

4) Полиномы Эрмита определяются формулой:

Разложение в ряд по нормированным функциям Эрмита:

- коэффициенты ряда (спектральные составляющие)

Полиномы Эрмита отличаются от полиномов Лагерра тем, что полиномы Лагерра определены на интервале, представляющем собой полуось , а полиномы Эрмита – на интервале, представляющем собой всю ось .

II. Для представления дискретных сигналов используются в основном функции Уолша.

Чаще всего используются функции Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения .

Введём безразмерное время , тогда k-ая функция Уолша обозначается символом .

Разложение сигнала в ряд по функциям Уолша на заданном отрезке времени имеет вид:

- коэффициенты ряда.

Графики функций Уолша

III. Вейвлет – анализ.

Если сигнал не имеет чёткого периодического характера, то алгоритмы преобразования Фурье становятся менее эффективными.

Эта проблема в последние годы решается с помощью нового подхода в теории и технике сигналов – вейвлет–анализа.

Wavelet – в переводе с английского “небольшая волна” или “небольшое колебание”.

С помощью вейвлет–анализа можно представлять как дискретные, так и непрерывные сигналы.

а) В основе дискретного вейвлет–анализа лежит использование исходного (или порождающего) вейвлета Хаара. Эта функция существует на отрезке [0,1] и принимает одно из двух возможных значений.

- безразмерное время

Ортонормированная базисная система вейвлетов Хаара строится за счёт операций сдвига во времени и изменения временного масштаба.

Тогда сигнал можно разложить в ряд по этим функциям, следующим образом:

На основании предыдущего, коэффициенты являются скалярными произведениями исходного сигнала и соответствующей базисной функции:

Данный ряд отличается от изучавшегося ранее тем, что суммирование производится не по одному, а по двум индексам.

Вейвлет – спектр сигнала, принимающего вещественные значения, можно образно представить себе как некоторый “лес” из вертикальных отрезков, размещенных над j k – плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата j указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.

б) Для анализа непрерывных сигналов пользуются непрерывными вейвлетами.

Примером может служить вейвлет типа “сомбреро”:

Вейвлет–преобразованием является функция двух переменных:

По своему смыслу вейвлет–преобразование соответствует преобразованию Фурье, только вместо функции используется вейвлет .

Вейвлет–преобразование является функцией двух аргументов, первый из которых аналогичен периоду колебания (т.е. обратной частоте), а второй – смещению сигнала вдоль оси времени.

Обратное вейвлет–преобразование:

Вейвлет–анализ особенно эффективен при решении задач сжатия и распознавания сигналов. Алгоритмы вейвлет–анализа представлены в составе прикладного пакета Mathlab.

Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром

Для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности. Однако с физической точки зрения такая процедура принципиально неосуществима.

К тому же вклад спектральных составляющих при пренебрежимо мал в силу ограниченности энергии сигналов. Кроме того, любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания.

Поэтому на практике обычно используется математическая модель сигнала с ограниченным спектром. Сигналы, спектральная плотность которых отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяжённости, называются сигналами с ограниченным спектром.