Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Наибольшее и наименьшее значения функции

Так же, как и для функции одной переменной, для функций многих переменных имеет место следующее утверждение.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве [6], то она ограничена на нём и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки такие, что

Для нахождения и поступают следующим образом:

1) Находят сначала все критические точки функции лежащие внутри (т.е. в области) и вычисляют значения функции в этих критических точках;

2) Вычисляют наибольшее и наименьшее значения на границе

3) Среди всех найденных значений выбирают наименьшее и наибольшее. Они и будут равны и соответственно.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Решение. Данная область является треугольником с вершинами стороны которого расположены на прямых (рис. 1).

1) Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

1) Найдем критические точки внутри области. Вычислим частные

производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

2) Найдем стационарные точки на стороне AO. Координаты точек, лежащих на AO удовлетворяют условиям. Тогда рассматриваемая функция принимает вид. Критическая точка определяется из условия

Вычислим значение функции в найденной точке

3) Рассмотрим точки, лежащие на стороне OB. Их координаты удовлетворяют условиям. При этом имеем, то есть на стороне OB критических точек нет.

4) Найдем критические точки на стороне AB. Здесь

Из уравнения находим критическую точку. Однако она не принадлежит рассматриваемому отрезку.

5) Найдем значения функции в вершинах треугольника

Так как единственная критическая точка совпала с вершиной треугольника O (0,0), выберем

наибольшее и наименьшее из этих значений. Итак, функция принимает наибольшее значение

в точке наименьшее значение в точке.

Эта тема излагается кратко на примерах в файле PDF (надо подключить этот файл, который является собственностью других авторов и мы ни коем случае не претендуем на него).

[1] Далее значок “def” и некоторые скобки в определении предела будем опускать.

[2] По определению дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.

[3] Здесь используется формула бинома Ньютона:

[4] Здесь произвольная (текущая) точка нормали.

[5] Заметим, что если равенство достигается только в точке, то соответствующий экстремум называется строгим экстремумом.

[6] Замкнутое ограниченное множество в называется компактом.