Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Лекция 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум и метод множителей Лагранжа

Прежде чем перейти к изложению следующего раздела, отметим, что кривую в пространстве можно задать системой уравнений

.

Действительно, при изменении параметра на отрезке точка описывает в некоторую кривую При этом кривая называется непрерывной, если все функции непрерывны на отрезке и называется гладкой кривой, если производные непрерывны на указанном отрезке. Точка называется неособой, если в противном случае (т.е. в случае)точка называется особой. Нетрудно показать, что вектор является касательным вектором к кривой в точке

Пусть поверхность определена в некоторой окрестности точки

Определение 1. Геометрическое место касательных прямых, проведенных к всевозможным гладким кривым, проходящим через точку называется касательной плоскостью к поверхности в точке Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке

Пусть поверхность задана уравнением и пусть кривая проходит через точку и имеет касательную в этой точке. Зададим эту кривую параметрически уравнениями и пусть точка соответствует параметру Тогда вектор является касательным вектором к кривой в точке. Так как кривая лежит на поверхности, то выполняется тождество Пусть – проекция точки на плоскость Предположим, что функция дифференцируема в точке Тогда сложную функцию можно дифференцировать по в точке. Сделав это, получим

Это равенство показывает, что вектор ортогонален касательному вектору

к кривой. Нетрудно видеть, что это утверждение верно для любой гладкой кривой, проходящей через точку, поэтому вектор перпендикулярен к касательной плоскости проходящей через точку Пусть произвольная точка плоскости Из аналитической геометрии вытекает, что уравнение этой плоскости имеет вид

Мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением и пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке поверхность имеет касательную плоскость, уравнение которой записывается в виде

Если поверхность задана неявно уравнением, то уравнение касательной плоскости к ней в точке имеет вид

Заметим, что уравнение (3) выводится из уравнения (2), если в него подставить частные производные функции вычисляемые по ранее полученным формулам

Учитывая, что вектор является направляющим вектором нормали к поверхности в точке, то уравнение нормали будет иметь вид[4]

в случае явного задания поверхности и

в случае неявного задания поверхности

В уравнении (2) величина является приращением аппликаты касательной плоскости, а величины – приращениями аргументов, поэтому равенство (2) можно записать так: Отсюда вытекает следующий геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению аппликаты касательной плоскости при переходе из точки в точку