Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению, связь с градиентом

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных

Если функции дифференцируемы в точке и некоторой ее окрестности, то функции

называются вторыми частными производными функции в точке (при этом производные называются смешанными производным). Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Например,

Если функция непрерывна в точке и имеет в этой точке непрерывные частные производные до порядка включительно, то её называют раз дифференцируемой в этой точке.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 5 (о равенстве смешанных производных). Пусть в точке и в некоторой ее окрестности существуют частные производные Тогда если смешанные производные

непрерывны в точке то они совпадают в этой точке: Аналогичное утверждение имеет место и для смешанных производных более высокого порядка (например, если частные производные непрерывны в точке).

Пример 1. Найти вторые смешанные производные для функции

Решение. Имеем

По аналогии с дифференциалами высших порядков функции одной переменной определяются и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. А именно, если известен дифференциал порядка, то дифференциал го порядка определяется по индукции: При этом дифференциалы независимых переменных и их степени считаются постоянными дифференцирования.

Если функция раз дифференцируема в точке то ее дифференциал порядка в этой точке вычисляется по формуле

где символ означает, что надо сначала выражение возвести в ую степень [3], а затем произведения вида заменить на частные производные Например,

С помощью дифференциалов высших порядков можно в краткой форме записать формулу Тейлора для функций многих переменных.

Теорема 7. Пусть в точке и некоторой её окрестности функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно. Тогда для каждой точки имеет место представление

где остаточный член (в форме Лагранжа) имеет вид

Если в некоторой области задана функция то говорят, что в задано скалярное поле. Например, температура тела в точке является скалярным полем. Будем, как и прежде, рассматривать случай Пусть фиксированная точка области Сместимся из точки в точку по направлению определяемым единичным вектором Введем следующее понятие.

Определение 2. Если существует конечный предел

то его называют производной поля в точке по направлению и обозначают

Производная показывает скорость изменения поля в точке в направлении Введем ещё одно понятие.

Определение 3. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

Следующая теорема устанавливает связь между градиентом и производной поля по направлению.

Теорема 8. Если поле дифференцируемо в точке и единичный вектор направления то

Доказательство проведем для плоского скалярного поля.Рассмотрим функцию По определению 2 имеем Так как функция дифференцируема в точке а функции дифференцируемы в точке то сложная функция дифференцируема в точке причем

Теорема доказана.